As condições iniciais para um oscilador isotrópico bi-dimensional são:
,
onde
é a frequência de oscilação. Mostre que o movimento se dá inteiramente dentro de um retângulo de dimensões
e
. Encontre a inclinação
do eixo da elipse em termos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um oscilador isotrópico em duas dimensões com condições iniciais específicas:
- $ x(0) = A $
- $ \dot{x}(0) = 0 $
- $ y(0) = B $
- $ \dot{y}(0) = \omega C $
O conteúdo aqui envolve movimentos oscilatórios, equações diferenciais e geometria das trajetórias. Para resolver, vamos usar conceitos de movimentos harmônicos simples e analisar a trajetória resultante no plano $ xy $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um oscilador harmônico simples em uma dimensão, a posição $ x(t) $ é dada por:
Como $ \dot{x}(0) = 0 $, simplificamos para:
Passo 3
Agora, fazemos o mesmo para a coordenada $ y(t) $. A equação geral é:
Substituindo $ \dot{y}(0) = \omega C $:
Passo 4
Para mostrar que o movimento está dentro de um retângulo com dimensões $ 2A $ e $ 2\sqrt{B^2 + C^2} $, vamos analisar os valores máximos de $ x(t) $ e $ y(t) $.
-
Para $ x(t) = A \cos(\omega t) $, o valor máximo é $ A $ e o mínimo é $ -A $. Então, a amplitude no eixo $ x $ é $ 2A $.
-
Para $ y(t) = B \cos(\omega t) + C \sin(\omega t) $, a amplitude máxima pode ser encontrada usando a identidade trigonométrica:
Então, a amplitude no eixo $ y $ é $ 2\sqrt{B^2 + C^2} $.
Portanto, a trajetória estará contida dentro de um retângulo com essas dimensões.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inclinação $ \phi $ do eixo da elipse formada pela trajetória. Primeiro, reescrevemos $ y(t) $ de uma forma que envolva uma única função trigonométrica. Usamos a identidade:
onde $ \phi $ é o ângulo de inclinação.
Comparando com a expressão original:
Podemos identificar que:
Logo, a inclinação $ \phi $ é dada por:
Resposta
O movimento do oscilador está completamente contido dentro de um retângulo de dimensões $ 2A $ e $ 2\sqrt{B^2 + C^2} $, e a inclinação $ \phi $ do eixo da elipse é: