As condições iniciais para um oscilador isotrópico bi-dimensional são: x(0)=A, dotx(0)=0, y(0)=B doty(0)=omega C onde omega é a frequência de oscilação. Mostre que o movimento se dá inteiramente dentro de um retângulo de dimensões 2 A e 2 raizB^2+C^2. Encontre a inclinação phi do eixo da elipse em termos de A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um oscilador isotrópico em duas dimensões com condições iniciais específicas:
  • $ x(0) = A $
  • $ \dot{x}(0) = 0 $
  • $ y(0) = B $
  • $ \dot{y}(0) = \omega C $
O conteúdo aqui envolve movimentos oscilatórios, equações diferenciais e geometria das trajetórias. Para resolver, vamos usar conceitos de movimentos harmônicos simples e analisar a trajetória resultante no plano $ xy $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um oscilador harmônico simples em uma dimensão, a posição $ x(t) $ é dada por:
x(t)
Como $ \dot{x}(0) = 0 $, simplificamos para:
x(t) = A cos(omega t) + dotx(0)omega sin(omega t)

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para a coordenada $ y(t) $. A equação geral é:
y(t)
Substituindo $ \dot{y}(0) = \omega C $:
y(t) = B cos(omega t) + doty(0)omega sin(omega t)

Passo 4

Para mostrar que o movimento está dentro de um retângulo com dimensões $ 2A $ e $ 2\sqrt{B^2 + C^2} $, vamos analisar os valores máximos de $ x(t) $ e $ y(t) $.
  • Para $ x(t) = A \cos(\omega t) $, o valor máximo é $ A $ e o mínimo é $ -A $. Então, a amplitude no eixo $ x $ é $ 2A $.
  • Para $ y(t) = B \cos(\omega t) + C \sin(\omega t) $, a amplitude máxima pode ser encontrada usando a identidade trigonométrica:
2A
Então, a amplitude no eixo $ y $ é $ 2\sqrt{B^2 + C^2} $.
Portanto, a trajetória estará contida dentro de um retângulo com essas dimensões.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inclinação $ \phi $ do eixo da elipse formada pela trajetória. Primeiro, reescrevemos $ y(t) $ de uma forma que envolva uma única função trigonométrica. Usamos a identidade:
phi
onde $ \phi $ é o ângulo de inclinação.
Comparando com a expressão original:
y(t)
Podemos identificar que:
y(t) = raizB^2 + C^2 cos(omega t - phi)
phi
Logo, a inclinação $ \phi $ é dada por:
y(t) = B cos(omega t) + C sin(omega t)

Resposta

O movimento do oscilador está completamente contido dentro de um retângulo de dimensões $ 2A $ e $ 2\sqrt{B^2 + C^2} $, e a inclinação $ \phi $ do eixo da elipse é:
2A

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