Em que condições as velocidades médias e as velocidades instântaneas são essencialmente iguais?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Em que condições as velocidades médias e as velocidades instantâneas são essencialmente iguais?”
Informações dadas: nenhuma quantidade numérica nem figura — é uma pergunta conceitual. Objetivo: explicar claramente quando a velocidade média sobre um intervalo de tempo pode ser considerada igual à velocidade instantânea em algum instante dentro desse intervalo.
Passo 2
Definição da velocidade média (para uma dimensão, explicação elementar). Seja x(t) a posição de uma partícula no tempo t. A velocidade média no intervalo [t,t+\Delta t] é
Isto significa que a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo — a taxa de variação instantânea de x.
Passo 4
Como comparar \bar v e v(t) usando uma expansão em série (ativa didática). Supondo que x(t) seja suficientemente suave (diferenciável), usa-se a expansão de Taylor em torno de t:
Interpretação da diferença entre média e instantânea. Da expressão anterior temos a diferença aproximada
\bar v - v(t)\approx \tfrac{1}{2}a(t)\,\Delta t.
Isto diz que a discrepância entre velocidade média e instantânea é proporcional à aceleração e ao tamanho do intervalo \Delta t. Portanto, para que \bar v seja essencialmente igual a v(t) é necessário que o termo \tfrac{1}{2}a(t)\,\Delta t seja pequeno em relação à precisão desejada.
Passo 6
Formulação prática das condições (interpretação física). Resumindo em critérios práticos:
Se a aceleração é zero (a(t)=0) — movimento uniforme — então
\bar v = v(t)\quad\text{exatamente para qualquer }\Delta t.
Se a(t)\neq0, então basta que o intervalo de tempo usado seja pequeno o bastante para que
\tfrac{1}{2}\,|a(t)|\,\Delta t \ll \text{(tolerância desejada)}.â
Uma forma alternativa de ver o mesmo critério é comparar \Delta t com o tempo característico de variação da velocidade \tau, definido por \tau\sim \dfrac{|v|}{|a|}. A condição prática é
\Delta t \ll \tau\quad\big(\text{i.e. }\Delta t \ll \tfrac{|v|}{|a|}\big).
Nesse caso a velocidade não muda muito durante \Delta t, então a média e a instantânea coincidem dentro da tolerância.
Passo 7
Observação sobre vetores e mudança de direção. Se a posição é um vetor \vec r(t), a mesma expansão vale:
Logo o critério é vetorial: tanto a magnitude quanto a direção de \vec v não devem variar significativamente em \Delta t. Em movimentos curvos, mesmo com módulo de velocidade quase constante, uma rápida variação na direção (grande curvatura) pode fazer a velocidade média vetorial diferir da instantânea.
Passo 8
Exemplos numéricos e regra de bolso (útil para prova).
Exemplo 1 (carro): se a=1\\ \text{m/s}^2 e \Delta t=1\\ \text{s}, então \bar v-v\approx\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot1=0,5\\ \text{m/s}. Se isso for aceitável, as velocidades são essencialmente iguais; se precisar de precisão maior, reduzir \Delta t.
Regra de bolso: escolha \Delta t muito menor que \tau=v/|a|. Por exemplo, se v\approx 20\\ \text{m/s} e a\approx 2\\ \text{m/s}^2, então \tau\approx10\\ \text{s}; qualquer \Delta t da ordem de 0{,}1–1\\ \text{s} já torna \bar v bem próximo de v.
Passo 9
Resumo didático e dica para prova (tom motivador): pense sempre no “tempo de mudança” da velocidade. Se a velocidade não tem tempo suficiente para mudar durante o intervalo que você escolheu, a média e a instantânea praticamente coincidem. Em prova, justifique afirmando que ou a=0 (igualdade exata) ou que \Delta t é muito pequeno comparado ao tempo característico \tau=v/|a|, usando a expansão de Taylor para quantificar o erro.
Resposta
São iguais exatamente quando o movimento é uniforme (a=0). Em geral são essencialmente iguais sempre que o intervalo de tempo \Delta t for muito pequeno em comparação ao tempo característico de variação da velocidade, isto é \Delta t\ll \dfrac{|v|}{|a|}, ou, numericamente, quando \tfrac{1}{2}|a|\,\Delta t for negligenciável frente à precisão desejada. Em caso vetorial, a direção de \vec v também não deve variar significativamente no intervalo.