A constante de velocidade no caso da decomposição de \mathrm{NO}_{2} apresenta o valor de 0,775 \mathrm{~mol}^{-} { }^{1} \mathrm{Ls}^{-1} a 330^{\circ} \mathrm{C} e 4,02 \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{Ls}^{-1} a 378^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a \mathrm{E}_{\mathrm{a}} desta reação? (R. 1,1 \times 10^{2} \mathrm{~kJ}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} )

Passo 1

O enunciado fornece os valores da constante de velocidade em duas temperaturas e pede a energia de ativação E_a. Dados fornecidos:
  • k_1 = 0,775\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}} à T_1 = 330^\circ\mathrm{C}.
  • k_2 = 4,02\\ \mathrm{L\,mol^{-1}s^{-1}} à T_2 = 378^\circ\mathrm{C}.
O objetivo é calcular E_a (em \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}) usando esses dados.

Passo 2

Vamos usar a equação de Arrhenius e explicar cada coisa devagarinho.
A equação de Arrhenius diz que a constante de velocidade k depende da temperatura segundo
k = A \exp\!\left(-\frac{E_a}{R T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade (aqui dada para duas temperaturas),
  • A é o fator pré-exponencial (frequência de colisões eficazes),
  • E_a é a energia de ativação que queremos (em \mathrm{J\\ mol^{-1}} ou \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Para eliminar A (que não conhecemos) usamos a razão entre duas constantes k_1 e k_2. Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right).
Essa é a fórmula que vamos usar para obter E_a. Aqui:
  • \ln é o logaritmo natural,
  • T_1 e T_2 devem estar em kelvin,
  • R em \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}, de modo que E_a virá em joules por mol; depois convertemos para \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Passo 3

Converter temperaturas de Celsius para Kelvin:
T_1 = 330^\circ\mathrm{C} = 330 + 273,15 = 603,15\\ \mathrm{K},
T_2 = 378^\circ\mathrm{C} = 378 + 273,15 = 651,15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a razão das constantes e seu logaritmo:
\frac{k_2}{k_1}=\frac{4,02}{0,775}=5,187096774\ldots
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)\approx 1,64616.
Calcular a diferença dos inversos das temperaturas:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{603,15}-\frac{1}{651,15}.
Uma forma direta de calcular essa diferença é usar a identidade
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{T_2-T_1}{T_1 T_2}.
Então
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{651,15-603,15}{603,15\cdot651,15} =\frac{48,00}{392741,1225}\approx 0,000122236\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Agora isolamos E_a na fórmula do Passo 2:
E_a = R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
Substituindo os valores ( R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}):
E_a = 8,314\cdot\frac{1,64616}{0,000122236}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Calculemos o numerador:
8,314\times1,64616\approx 13,688\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}.
Dividindo:
E_a \approx \frac{13,688}{0,000122236}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}\approx 111\,995\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} (dividindo por 1000):
E_a \approx 111,995\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}\approx 1,12\times10^{2}\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.

Resposta

E_a \approx 1,12\times10^{2}\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}

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