Em condução de calor, a temperatura em uma placa com borda mantida a T=0 e uma fonte pontual de calor na posição z_{0} é dada por T(z)= \operatorname{Re}\left(\frac{Q}{2 \pi} \operatorname{Ln}\left(z-z_{0}\right)\right). Interprete fisicamente.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura numa placa como
T(z)= \operatorname{Re}\!\left(\frac{Q}{2\pi}\Operatorname{Ln}\!(z-z_{0})\right),
onde z e z_{0} são pontos no plano complexo (ou seja, coordenadas bidimensionais x+iy). A tarefa é interpretar fisicamente essa expressão.
Informações relevantes que temos:
  • Há uma fonte puntiforme de calor localizada em z_{0}.
  • A placa é bidimensional (espessura desprezível), e a borda é mantida em T=0 (o enunciado sugere que há uma condição de contorno nula a alguma fronteira).
  • A função usada é o logaritmo complexo \Operatorname{Ln}, e toma-se a parte real.
    Nenhum dado numérico adicional foi dado; a interpretação será qualitativa e mostrando relações físicas gerais.

Passo 2

Primeiro simplifico a forma matemática para ver o que ela significa em termos reais. Lembro que, para z\in\mathbb{C},
\Operatorname{Ln}(z-z_{0}) = \ln|z-z_{0}| + i\Arg(z-z_{0}),
onde \ln|z-z_{0}| é a parte real e \Arg é a parte imaginária (multivalorada). Assim
T(z)=\operatorname{Re}\!\left(\frac{Q}{2\pi}\Operatorname{Ln}(z-z_{0})\right)=\frac{Q}{2\pi}\ln|z-z_{0}|.
Portanto a temperatura depende apenas da distância euclidiana r=|z-z_{0}| ao ponto fonte: T(r)=\dfrac{Q}{2\pi}\ln r (nota: o logaritmo é negativo para r<1, isso é só uma escolha de escala/constante aditiva).

Passo 3

Agora associo isso à equação de calor em estado estacionário (equação de Poisson). Em duas dimensões vale a identidade de distribuições
\nabla^{2}\ln|z-z_{0}| = 2\pi \,\delta^{(2)}(z-z_{0}),
onde \delta^{(2)} é a delta de Dirac bidimensional. Aplicando \nabla^{2} à expressão de T obtemos
\nabla^{2}T(z)=\frac{Q}{2\pi}\nabla^{2}\ln|z-z_{0}|=Q\,\delta^{(2)}(z-z_{0}).
Isto mostra que T é solução da equação de Poisson com fonte pontual de intensidade Q: \nabla^{2}T = Q\,\delta^{(2)}. Em termos físicos, Q representa a potência fornecida pela fonte (por unidade de espessura da placa). Se se incluir condutividade térmica k, a solução física usual é
T(z)=\frac{Q}{2\pi k}\ln|z-z_{0}|,
e a equação estacionária com condutividade fica k\nabla^{2}T = -Q\,\delta^{(2)} (a convenção de sinal depende de como se define Q, mas a ideia é que a Laplaciana gera a delta).

Passo 4

Interpreto a conservação de energia a partir do campo de temperatura. Calculo o fluxo de calor radial através de um círculo centrado em z_{0}. Para T(r)=\dfrac{Q}{2\pi k}\ln r tem-se
\frac{\partial T}{\partial r}=\frac{Q}{2\pi k}\frac{1}{r}.
O fluxo de calor radial (por unidade de comprimento na direção de espessura) é \mathbf{q}=-k\nabla T, logo a componente radial é q_r=-k\partial T/\partial r=-\dfrac{Q}{2\pi r}. A potência total atravessando um círculo de raio r é
\Phi(r)=\int_{0}^{2\pi} q_r\, r\, d\theta = \int_{0}^{2\pi}\left(-\frac{Q}{2\pi r}\right) r\, d\theta = -Q.
O módulo da potência é independente de r: toda a potência gerada pela fonte sai radialmente (conservação de energia). A presença do sinal negativo indica direção (calor sai da fonte). Isto confirma que Q é a potência total (por unidade de espessura).

Passo 5

Comento a singularidade e o comportamento à distância. Perto da fonte, \ln r\to -\infty quando r\to 0, logo a temperatura diverge logaritmicamente no ponto idealizado. Fisicamente isso indica que um modelo de fonte puntiforme é uma idealização: numa fonte real há um núcleo de tamanho finito onde o modelo contínuo deixa de valer e a temperatura máxima fica limitada. Ao contrário, para grandes distâncias a temperatura decai muito lentamente (logaritmicamente) — em 2D a influência de uma fonte pontual é de longo alcance. Compare: em 3D a solução estacionária de uma fonte puntiforme decai como 1/r, que corta a influência mais rápido do que o logaritmo em 2D.

Passo 6

Dou interpretação via função analítica (visão complexa). Defina a função complexa
w(z)=\frac{Q}{2\pi}\Operatorname{Ln}(z-z_{0})=\varphi(x,y)+i\psi(x,y).
Então \varphi(x,y)=T(x,y) é a parte real e \psi(x,y)=\dfrac{Q}{2\pi}\Arg(z-z_{0}) é a conjugada harmônica. Em teoria de potenciais:
  • \varphi são as isotermas (curvas de mesma temperatura).
  • \psi é o potencial ortogonal, cujas linhas de nível são as linhas de fluxo de calor (curvas seguidas pelo fluxo).
    Como w é holomorfa fora de z_{0}, \varphi e \psi são harmônicas e ortogonais; a derivada
w'(z)=\frac{Q}{2\pi}\frac{1}{z-z_{0}}
dá informação sobre a intensidade e direção do fluxo de calor (componente complexa do fluxo).

Passo 7

Sobre a condição de contorno T=0 na borda: na prática para impor T=0 numa fronteira simples (por exemplo, a borda reta do semi-plano, o eixo real) usa-se o método das imagens. Por exemplo, para o semi-plano superior com fronteira no eixo real e uma fonte em z_{0}=x_{0}+iy_{0} ( y_{0}>0), a combinação
T(z)=\frac{Q}{2\pi}\operatorname{Re}\!\Big[\Operatorname{Ln}(z-z_{0})-\Operatorname{Ln}(z-\overline{z_{0}})\Big] =\frac{Q}{2\pi}\ln\frac{|z-z_{0}|}{|z-\overline{z_{0}}|}
anula T para z no eixo real, porque para z real |z-z_{0}|=|z-\overline{z_{0}}|. Assim a solução apresentada no enunciado é do tipo potencial logarítmico; normalmente para satisfazer uma borda em T=0 acrescenta-se a imagem adequada (a expressão original com apenas \Operatorname{Ln}(z-z_{0}) dá a solução livre em 2D, e combinações de logs permitem impor condições de contorno).

Passo 8

Resumo físico objetivo e pontos-chave para lembrar na prova:
  • \operatorname{Re}\Operatorname{Ln}(z-z_{0})=\ln|z-z_{0}| mostra que a temperatura depende só da distância ao ponto fonte; é a solução 2D com singularidade logarítmica.
  • A Laplaciana gera a delta: \nabla^{2}\ln|z-z_{0}|=2\pi\delta^{(2)}(z-z_{0}), logo a expressão modela uma fonte puntiforme de intensidade Q.
  • O fluxo total através de qualquer círculo centrado em z_{0} é igual à potência Q (conservação de energia), depois de considerar a condutividade k na constante.
  • A parte imaginária do logaritmo é a conjugada harmônica; assim a formulação complexa dá simultaneamente isotermas e linhas de fluxo, que são ortogonais.
  • Para impor T=0 em uma borda concreta (ex.: semi-plano), usa-se imagens e combinações de \Operatorname{Ln} para anular T na fronteira.

Resposta

A expressão é a solução bidimensional (2D) da equação de Poisson com uma fonte pontual em z_{0}: usar \operatorname{Re}\Operatorname{Ln}(z-z_{0})=\ln|z-z_{0}| mostra que a temperatura é radial e tem singularidade logarítmica em z_{0}. A identidade \nabla^{2}\ln|z-z_{0}|=2\pi\delta^{(2)}(z-z_{0}) implica que Q é a intensidade da fonte (potência por unidade de espessura, ajustada por k se necessário), e o fluxo de calor através de qualquer círculo centrado em z_{0} é igual a Q (conservação de energia). A formulação complexa w(z)=\dfrac{Q}{2\pi}\Operatorname{Ln}(z-z_{0}) dá também a função conjugada (linhas de fluxo), e condições de contorno T=0 numa borda são impostas combinando logs (método das imagens), por exemplo substituindo por \dfrac{Q}{2\pi}\operatorname{Re}[\Operatorname{Ln}(z-z_{0})-\Operatorname{Ln}(z-\overline{z_{0}})] para o semi-plano.

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