Considere o potencial elétrico V(x, y)=\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right). Mostre que V é harmônico e encontre a função fluxo \psi. Que configuração física isso representa?

Passo 1

O enunciado dá a função potencial elétrico V(x,y)=\operatorname{Re}\!\left(\dfrac{1}{z}\right). Precisamos:
  • Mostrar que V é harmônico (ou seja, que satisfaz a equação de Laplace \nabla^2 V=0) em todo o plano exceto possivelmente na origem.
  • Encontrar a função fluxo \psi(x,y) correspondente (aquela que é conjugada harmônica de V, isto é, tal que V+i\psi seja uma função analítica).
  • Interpretar fisicamente a configuração descrita por esse potencial.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função complexa em questão é W(z)=\dfrac{1}{z}.
  • A parte real dessa função é o potencial: V(x,y)=\operatorname{Re}\!\left(\dfrac{1}{z}\right).
  • Devemos trabalhar no domínio \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}, porque 1/z tem singularidade em z=0.

Passo 2

Passo prático: escrever 1/z em coordenadas reais x,y. Seja z=x+iy e r^2=x^2+y^2. Então
\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}.
Dessa expressão obtemos as partes real e imaginária:
V(x,y)=\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{x}{x^2+y^2}, \qquad \text{e} \qquad \operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{z}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}.
Ou seja, escrevendo V explicitamente,
V(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Explicar o que significa ser harmônico e duas formas de provar que V é harmônico.
Definição curta e prática: uma função u(x,y) é harmônica em uma região se satisfaz a equação de Laplace
\nabla^2 u = u_{xx}+u_{yy}=0
nessa região.
Método elegante (usando teoria complexa): se f(z) é função holomorfa em uma região, então suas partes real e imaginária são funções harmônicas nessa região. A função f(z)=1/z é holomorfa em \mathbb{C}\setminus\{0\}. Portanto sua parte real V=\operatorname{Re}(1/z) é harmônica em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}. Isso já prova que V é harmônico fora da origem.
Método direto (para quem prefere ver contas): podemos usar as equações de Cauchy–Riemann para f(z)=u+iv com u=V e v=\operatorname{Im}(1/z). Se u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e têm derivadas segundas contínuas, então u e v satisfazem \nabla^2 u=0 e \nabla^2 v=0. Vamos checar rapidamente as derivadas parciais (mostrando os passos essenciais, sem exagerar nas contas):
Calcule
u(x,y)=\frac{x}{r^2},\qquad v(x,y)=-\frac{y}{r^2},\qquad r^2=x^2+y^2.
Derivadas primeiras:
u_x=\frac{y^2-x^2}{r^4},\qquad u_y=-\frac{2xy}{r^4},
v_x=\frac{2xy}{r^4},\qquad v_y=\frac{y^2-x^2}{r^4}.
Observa-se que
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x,
ou seja, as equações de Cauchy–Riemann valem (para (x,y)\neq(0,0)). Então, usando a igualdade dos derivados mistos (Clairaut),
u_{xx}+u_{yy}=(u_x)_x+(u_y)_y=(v_y)_x- (v_x)_y=0.
Logo \nabla^2 u=0. Isso confirma de forma explícita que V é harmônico em \mathbb{R}^2\setminus\{0\}.

Passo 4

Encontrar a função fluxo \psi. Pelo passo 2 vimos que a parte imaginária de 1/z é
\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{z}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2}.
A função fluxo (conjugada harmônica) \psi(x,y) pode ser tomada igual a essa parte imaginária (mais uma constante arbitrária, que não altera as linhas de fluxo). Assim podemos escolher
\psi(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2} \qquad\text{(à constante aditiva perto)}.à
Verificação rápida: já mostramos no passo anterior que u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, então \psi=v é realmente a conjugada harmônica de V. Em termos de potencial complexo,
W(z)=V+i\psi=\frac{1}{z}.

Passo 5

Interpretação física da configuração.
  • Em coordenadas polares z=re^{i\theta} tem-se
\frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-i\theta},
portanto
V=\frac{\cos\theta}{r},\qquad \psi=-\frac{\sin\theta}{r}.
  • Esse potencial não é o potencial de uma carga pontual em 2D (que teria comportamento \sim\ln r), mas sim o potencial de um dipolo elétrico (ou, visto pela analogia com mecânica dos fluidos potenciais, o potencial de um dipolo de velocidade) localizado na origem e orientado ao longo do eixo x. Em palavras: é um dipolo de momento unitário apontando em +x.
  • O campo elétrico é \mathbf{E}=-\nabla V; as linhas de campo são perpendiculares às curvas de nível de V e coincidem com as curvas \psi= constante. A origem é uma singularidade (fonte de dipolo), e o potencial decai como 1/r.
  • Portanto a configuração física é um dipolo elétrico em 2D (momento no sentido x), com singularidade na origem. As equipotenciais são dadas por x/(x^2+y^2)= constante e as linhas de campo por -y/(x^2+y^2)= constante.

Resposta

V(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2} é harmônico em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
\displaystyle \psi(x,y)=-\dfrac{y}{x^2+y^2} (à constante aditiva).
Configuração física: potencial de um dipolo elétrico localizado na origem e orientado ao longo do eixo x (singularidade de dipolo em z=0).

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