Considere o potencial elétrico
. Mostre que
é harmônico e encontre a função fluxo
. Que configuração física isso representa?
Passo 1
O enunciado dá a função potencial elétrico
. Precisamos:
- Mostrar que
é harmônico (ou seja, que satisfaz a equação de Laplace ) em todo o plano exceto possivelmente na origem. - Encontrar a função fluxo
correspondente (aquela que é conjugada harmônica de , isto é, tal que seja uma função analítica). - Interpretar fisicamente a configuração descrita por esse potencial.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função complexa em questão é
. - A parte real dessa função é o potencial:
. - Devemos trabalhar no domínio
, porque tem singularidade em .
Passo 2
Passo prático: escrever
em coordenadas reais
. Seja
e
. Então
Dessa expressão obtemos as partes real e imaginária:
Ou seja, escrevendo
explicitamente,
Passo 3
Explicar o que significa ser harmônico e duas formas de provar que
é harmônico.
Definição curta e prática: uma função
é harmônica em uma região se satisfaz a equação de Laplace
nessa região.
Método elegante (usando teoria complexa): se
é função holomorfa em uma região, então suas partes real e imaginária são funções harmônicas nessa região. A função
é holomorfa em
. Portanto sua parte real
é harmônica em
. Isso já prova que
é harmônico fora da origem.
Método direto (para quem prefere ver contas): podemos usar as equações de Cauchy–Riemann para
com
e
. Se
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e têm derivadas segundas contínuas, então
e
satisfazem
e
. Vamos checar rapidamente as derivadas parciais (mostrando os passos essenciais, sem exagerar nas contas):
Calcule
Derivadas primeiras:
Observa-se que
ou seja, as equações de Cauchy–Riemann valem (para
). Então, usando a igualdade dos derivados mistos (Clairaut),
Logo
. Isso confirma de forma explícita que
é harmônico em
.
Passo 4
Encontrar a função fluxo
. Pelo passo 2 vimos que a parte imaginária de
é
A função fluxo (conjugada harmônica)
pode ser tomada igual a essa parte imaginária (mais uma constante arbitrária, que não altera as linhas de fluxo). Assim podemos escolher
Verificação rápida: já mostramos no passo anterior que
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, então
é realmente a conjugada harmônica de
. Em termos de potencial complexo,
Passo 5
Interpretação física da configuração.
- Em coordenadas polares
tem-se
portanto
- Esse potencial não é o potencial de uma carga pontual em 2D (que teria comportamento
), mas sim o potencial de um dipolo elétrico (ou, visto pela analogia com mecânica dos fluidos potenciais, o potencial de um dipolo de velocidade) localizado na origem e orientado ao longo do eixo . Em palavras: é um dipolo de momento unitário apontando em . - O campo elétrico é
; as linhas de campo são perpendiculares às curvas de nível de e coincidem com as curvas constante. A origem é uma singularidade (fonte de dipolo), e o potencial decai como . - Portanto a configuração física é um dipolo elétrico em 2D (momento no sentido
), com singularidade na origem. As equipotenciais são dadas por constante e as linhas de campo por constante.
Resposta
Configuração física: potencial de um dipolo elétrico localizado na origem e orientado ao longo do eixo