Mostre que o campo de velocidade de um vórtice pontual é dado por v_{x}- i v_{y}=\frac{\Gamma}{2 \pi i z}. Encontre o potencial complexo correspondente.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Mostrar que o campo de velocidade de um vórtice pontual no plano (com circulação \Gamma e concentrado na origem) satisfaz
v_{x}- i v_{y}=\frac{\Gamma}{2\pi i z},
onde z=x+iy.
  • Encontrar o potencial complexo correspondente w(z) (ou seja, achar uma função w tal que w'(z)=v_x-i v_y).
Informações dadas e símbolos que vou usar:
  • z=x+iy é a coordenada complexa do ponto no plano.
  • r=\sqrt{x^2+y^2} é a distância ao centro (origem).
  • \Gamma é a circulação total do vórtice (constante).
  • Pressupõe-se o fluxo incompressível 2D e que o vórtice está no centro (origem).

Passo 2

Relacionar circulação e velocidade tangencial no redor do vórtice.
Definição útil (o que é circulação para este problema):
  • A circulação \Gamma em torno de um círculo de raio r centrado na origem é a integral da velocidade ao longo da circunferência:
\Gamma=\oint_{\text{circ}} \mathbf{v}\cdot d\mathbf{\ell}.
Para um vórtice pontual a velocidade é todo tangencial e uniforme em módulo ao longo da circunferência. Se v_\theta(r) é a componente tangencial (no sentido anticlockwise positivo), então a integral dá
\Gamma = v_{\theta}(r)\cdot (2\pi r).
Logo, resolvendo para v_{\theta},
v_{\theta}(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r}.
Breve comentário didático: essa fórmula vem da definição de circulação. Intuitivamente, todo o “giro” do fluido está concentrado no centro, e ao redor há uma rotação cujo módulo decai como 1/r para que a integral ao longo de qualquer círculo dê sempre \Gamma.

Passo 3

Expressar a velocidade (apenas tangencial) em coordenadas cartesianas.
No plano, os versores polares são
\mathbf{e}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta),\qquad \mathbf{e}_\theta=(-\sin\theta,\;\cos\theta),
e a velocidade do vórtice é puramente angular:
\mathbf{v}=v_\theta\,\mathbf{e}_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r}(-\sin\theta,\;\cos\theta).
Agora escrevemos \sin\theta e \cos\theta em termos de x,y:
\cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \sin\theta=\frac{y}{r}.
Portanto as componentes cartesianas são
v_x = -\frac{\Gamma}{2\pi r}\sin\theta = -\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{y}{r^{2}},
v_y = \frac{\Gamma}{2\pi r}\cos\theta = \frac{\Gamma}{2\pi}\frac{x}{r^{2}}.
Reescrevendo r^{2}=x^{2}+y^{2},
v_x = -\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad v_y = \frac{\Gamma}{2\pi}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Formar a combinação complexa v_x-i v_y e simplificar até obter a expressão pedida.
Começamos com as componentes do passo anterior:
v_x - i v_y = -\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{y}{r^{2}} - i\frac{\Gamma}{2\pi}\frac{x}{r^{2}} = \frac{\Gamma}{2\pi}\frac{-y - i x}{r^{2}}.
Fatoramos de modo a reconhecer z ou 1/z. Observe que
-y - i x = -\big(y + i x\big) = -i\big(x - i y\big).
Note também que x - i y é a conjugada de z e que
\frac{x - i y}{r^{2}}=\frac{1}{z}.
Assim
v_x - i v_y = \frac{\Gamma}{2\pi}\left(-i\frac{x - i y}{r^{2}}\right) = \frac{\Gamma}{2\pi}\left(-i\cdot\frac{1}{z}\right).
Usando -i = 1/i obtemos finalmente
v_x - i v_y = \frac{\Gamma}{2\pi i z},
que é exatamente a expressão que era para mostrar.
Comentário intuitivo: a combinação v_x-i v_y é a derivada complexa do potencial complexo e faz aparecer naturalmente 1/z, a singularidade do vórtice na origem.

Passo 5

Definir o potencial complexo w(z) e relacioná-lo com v_x-i v_y.
Para escoamentos 2D incompressíveis e irrotacionais (locais), define-se o potencial complexo
w(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y),
onde \varphi é o potencial de velocidade (função harmônica) e \psi é a função corrente (stream function). A derivada complexa tem a propriedade
w'(z)=\frac{dw}{dz}=v_x-i v_y.
No nosso caso já determinamos v_x-i v_y no passo anterior, então basta integrar essa expressão em z para obter w.

Passo 6

Integrar w'(z)=\dfrac{\Gamma}{2\pi i z} para obter w(z).
Integramos diretamente:
w'(z)=\frac{\Gamma}{2\pi i z}\qquad\Longrightarrow\qquad w(z)=\int \frac{\Gamma}{2\pi i}\frac{1}{z}\,dz = \frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z + C,
onde \ln z é o logaritmo complexo (multi‑valor) e C é constante complexa de integração.
Podemos escrever esta expressão em forma mais comum, usando 1/i=-i:
w(z)= -\,\frac{i\Gamma}{2\pi}\ln z + C.
Separando partes real e imaginária por clareza: escrevendo \ln z=\ln r + i\theta (com \theta=\arg z),
w(z)= -\frac{i\Gamma}{2\pi}(\ln r + i\theta) + C = \frac{\Gamma}{2\pi}\theta - i\left(\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r\right) + C.
Assim a parte imaginária (stream function) é
\psi(r)= -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r \quad(\text{até uma constante}),é
e a parte real (potencial de velocidade) é
\varphi(\theta)=\frac{\Gamma}{2\pi}\theta \quad(\text{até uma constante}),é
o que novamente mostra que o potencial é multi‑valor (dependência em \theta) — comportamento esperado para um vórtice pontual.
Obs. importante (didática): o log complexo é multi‑valor porque \theta pode mudar em 2\pi n; isso corresponde ao fato físico de que a função potencial \varphi é multi‑valor para um vórtice — a velocidade é bem definida, a potencial escalar não é single‑valued globalmente.

Resposta

v_{x}- i v_{y}=\dfrac{\Gamma}{2\pi i z}
w(z)=\dfrac{\Gamma}{2\pi i}\ln z + C \quad (ou equivalently \;w(z)=-\dfrac{i\Gamma}{2\pi}\ln z + C).

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