Mostre que o campo de velocidade de um vórtice pontual é dado por
. Encontre o potencial complexo correspondente.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Mostrar que o campo de velocidade de um vórtice pontual no plano (com circulação
e concentrado na origem) satisfaz
onde
.
- Encontrar o potencial complexo correspondente
(ou seja, achar uma função tal que ).
Informações dadas e símbolos que vou usar:
-
é a coordenada complexa do ponto no plano. -
é a distância ao centro (origem). -
é a circulação total do vórtice (constante). - Pressupõe-se o fluxo incompressível 2D e que o vórtice está no centro (origem).
Passo 2
Relacionar circulação e velocidade tangencial no redor do vórtice.
Definição útil (o que é circulação para este problema):
- A circulação
em torno de um círculo de raio centrado na origem é a integral da velocidade ao longo da circunferência:
Para um vórtice pontual a velocidade é todo tangencial e uniforme em módulo ao longo da circunferência. Se
é a componente tangencial (no sentido anticlockwise positivo), então a integral dá
Logo, resolvendo para
,
Breve comentário didático: essa fórmula vem da definição de circulação. Intuitivamente, todo o “giro” do fluido está concentrado no centro, e ao redor há uma rotação cujo módulo decai como
para que a integral ao longo de qualquer círculo dê sempre
.
Passo 3
Expressar a velocidade (apenas tangencial) em coordenadas cartesianas.
No plano, os versores polares são
e a velocidade do vórtice é puramente angular:
Agora escrevemos
e
em termos de
:
Portanto as componentes cartesianas são
Reescrevendo
,
Passo 4
Formar a combinação complexa
e simplificar até obter a expressão pedida.
Começamos com as componentes do passo anterior:
Fatoramos de modo a reconhecer
ou
. Observe que
Note também que
é a conjugada de
e que
Assim
Usando
obtemos finalmente
que é exatamente a expressão que era para mostrar.
Comentário intuitivo: a combinação
é a derivada complexa do potencial complexo e faz aparecer naturalmente
, a singularidade do vórtice na origem.
Passo 5
Definir o potencial complexo
e relacioná-lo com
.
Para escoamentos 2D incompressíveis e irrotacionais (locais), define-se o potencial complexo
onde
é o potencial de velocidade (função harmônica) e
é a função corrente (stream function). A derivada complexa tem a propriedade
No nosso caso já determinamos
no passo anterior, então basta integrar essa expressão em
para obter
.
Passo 6
Integrar
para obter
.
Integramos diretamente:
onde
é o logaritmo complexo (multi‑valor) e
é constante complexa de integração.
Podemos escrever esta expressão em forma mais comum, usando
:
Separando partes real e imaginária por clareza: escrevendo
(com
),
Assim a parte imaginária (stream function) é
e a parte real (potencial de velocidade) é
o que novamente mostra que o potencial é multi‑valor (dependência em
) — comportamento esperado para um vórtice pontual.
Obs. importante (didática): o log complexo é multi‑valor porque
pode mudar em
; isso corresponde ao fato físico de que a função potencial
é multi‑valor para um vórtice — a velocidade é bem definida, a potencial escalar não é single‑valued globalmente.