Para a condução unidimensional, em regime estacionário, em uma casca cilíndrica ou esférica, sem geração de calor, o fluxo de calor radial é independente do raio? A taxa de transferência de calor radial é independente do raio?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas sobre condução unidimensional, em regime estacionário, numa casca cilíndrica ou esférica sem geração de calor:
- O fluxo de calor radial é independente do raio?
- A taxa de transferência de calor radial é independente do raio?
Informações dadas (explicitadas):
- Condução unidimensional radial (variação só em
). - Regime estacionário (não há acumulação de energia).
- Sem geração de calor interna.
- Geometrias: casca cilíndrica (comprimento
) e casca esférica. - Não há mais dados numéricos; a resposta deve ser em termos gerais e teóricos.
Passo 2
Antes de resolver, vamos entender e definir com calma os termos (isso é importante para não confundir na prova):
- O fluxo de calor radial (ou densidade de fluxo) é a quantidade de calor que atravessa uma unidade de área por unidade de tempo na direção radial. Denotamos por
e suas unidades são . É um campo local, pode depender de . - A taxa de transferência de calor (ou fluxo térmico total) é a quantidade de calor que atravessa uma superfície fechada por unidade de tempo. Denotamos por
e suas unidades são . É a integral do fluxo sobre a área: em simetria radial
onde
é a área da superfície sobre a qual o calor atravessa:
- Para cilindro de comprimento
: - Para esfera:
Essa relação mostra já uma pista: se
for constante e
varia com
, então
deverá variar com
.
Passo 3
Agora usemos a conservação de energia na forma adequada para regime estacionário e sem geração: a quantidade de calor que entra por uma superfície concêntrica em um raio
deve ser igual à que sai por outra superfície concêntrica em raio diferente
. Em termos diferenciais, a divergência do fluxo radial é zero, o que em coordenadas radiais simétricas dá uma condição tipo
- cilindro:
- esfera:
Essas expressões vêm de escrever a equação de balanço integral para uma casca cilíndrica/esférica e passando ao limite
. Elas expressam que não há “acúmulo” nem geração no volume entre superfícies concêntricas.
Passo 4
Resolvendo a equação de conservação para o cilindro:
onde
é constante independente de
. Logo
Aplicando a relação com a área do cilindro, a taxa de calor é
que é uma constante independente de
. Observação: se quisermos ligar
à condutividade
e à temperatura, usamos a Lei de Fourier radial
Combinar
com Fourier dá
que ao integrar fornece a distribuição de temperatura
, mas para a pergunta principal já basta o que vimos:
varia como
, enquanto
é independente de
.
Passo 5
Fazendo o mesmo raciocínio para a esfera:
ou seja
Então a taxa de calor é
constante independente de
. Usando novamente Fourier, teríamos
e assim
pode ser obtida integrando, mas o importante aqui é a mesma conclusão:
varia (aqui como
), enquanto
é constante.
Passo 6
Intuição física curta e útil para prova:
- Em regime estacionário e sem geração, o que sai de uma superfície concêntrica tem de ser exatamente o que entra por outra — portanto
não depende de . - Como a área das superfícies concêntricas cresce com
(linear com no cilindro, como na esfera), a densidade de fluxo por unidade de área precisa diminuir com para que o produto permaneça constante. Por isso depende de . - No caso de parede plana (área constante), tanto
quanto são constantes ao longo da espessura (se não houver geração).
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha
num cilindro com
.
- Em
: - Em
:
Ou seja,igual em todo lugar, mas cai com .
Resposta
Não — o fluxo de calor radial
depende do raio (cai como
no cilindro e como
na esfera).
Sim — a taxa de transferência de calor (o fluxo total) é independente do raio (é constante em regime estacionário sem geração).
Sim — a taxa de transferência de calor