Para a condução unidimensional, em regime estacionário, em uma casca cilíndrica ou esférica, sem geração de calor, o fluxo de calor radial é independente do raio? A taxa de transferência de calor radial é independente do raio?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas sobre condução unidimensional, em regime estacionário, numa casca cilíndrica ou esférica sem geração de calor:
  1. O fluxo de calor radial é independente do raio?
  2. A taxa de transferência de calor radial é independente do raio?
Informações dadas (explicitadas):
  • Condução unidimensional radial (variação só em r).
  • Regime estacionário (não há acumulação de energia).
  • Sem geração de calor interna.
  • Geometrias: casca cilíndrica (comprimento L) e casca esférica.
  • Não há mais dados numéricos; a resposta deve ser em termos gerais e teóricos.

Passo 2

Antes de resolver, vamos entender e definir com calma os termos (isso é importante para não confundir na prova):
  • O fluxo de calor radial (ou densidade de fluxo) é a quantidade de calor que atravessa uma unidade de área por unidade de tempo na direção radial. Denotamos por q_r e suas unidades são \mathrm{W/m^2}. É um campo local, pode depender de r.
  • A taxa de transferência de calor (ou fluxo térmico total) é a quantidade de calor que atravessa uma superfície fechada por unidade de tempo. Denotamos por \dot{Q} e suas unidades são \mathrm{W}. É a integral do fluxo sobre a área: em simetria radial
\dot{Q}(r)=q_r(r)\,A(r),
onde A(r) é a área da superfície sobre a qual o calor atravessa:
  • Para cilindro de comprimento L: A(r)=2\pi r L.
  • Para esfera: A(r)=4\pi r^2.
Essa relação mostra já uma pista: se \dot{Q} for constante e A(r) varia com r, então q_r deverá variar com r.

Passo 3

Agora usemos a conservação de energia na forma adequada para regime estacionário e sem geração: a quantidade de calor que entra por uma superfície concêntrica em um raio r deve ser igual à que sai por outra superfície concêntrica em raio diferente r+\Delta r. Em termos diferenciais, a divergência do fluxo radial é zero, o que em coordenadas radiais simétricas dá uma condição tipo
  • cilindro: \displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,q_r\bigr)=0,
  • esfera: \displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\bigl(r^2\,q_r\bigr)=0.
Essas expressões vêm de escrever a equação de balanço integral para uma casca cilíndrica/esférica e passando ao limite \Delta r\to0. Elas expressam que não há “acúmulo” nem geração no volume entre superfícies concêntricas.

Passo 4

Resolvendo a equação de conservação para o cilindro:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r\,q_r\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dr}\bigl(r\,q_r\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad r\,q_r=C_1,
onde C_1 é constante independente de r. Logo
q_r(r)=\frac{C_1}{r}.
Aplicando a relação com a área do cilindro, a taxa de calor é
\dot{Q}(r)=q_r(r)\,A(r)=\frac{C_1}{r}\cdot 2\pi r L = 2\pi L C_1,
que é uma constante independente de r. Observação: se quisermos ligar C_1 à condutividade k e à temperatura, usamos a Lei de Fourier radial
q_r=-k\frac{dT}{dr}.
Combinar q_r=C_1/r com Fourier dá
-k\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r} \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dr}=-\frac{C_1}{k}\frac{1}{r},
que ao integrar fornece a distribuição de temperatura T(r), mas para a pergunta principal já basta o que vimos: q_r varia como 1/r, enquanto \dot{Q} é independente de r.

Passo 5

Fazendo o mesmo raciocínio para a esfera:
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\bigl(r^2\,q_r\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dr}\bigl(r^2\,q_r\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad r^2\,q_r=C_2,
ou seja
q_r(r)=\frac{C_2}{r^2}.
Então a taxa de calor é
\dot{Q}(r)=q_r(r)\,A(r)=\frac{C_2}{r^2}\cdot 4\pi r^2 = 4\pi C_2,
constante independente de r. Usando novamente Fourier, teríamos -k\,dT/dr = C_2/r^2 e assim T(r) pode ser obtida integrando, mas o importante aqui é a mesma conclusão: q_r varia (aqui como 1/r^2), enquanto \dot{Q} é constante.

Passo 6

Intuição física curta e útil para prova:
  • Em regime estacionário e sem geração, o que sai de uma superfície concêntrica tem de ser exatamente o que entra por outra — portanto \dot{Q} não depende de r.
  • Como a área das superfícies concêntricas cresce com r (linear com r no cilindro, como r^2 na esfera), a densidade de fluxo por unidade de área precisa diminuir com r para que o produto q_r A(r) permaneça constante. Por isso q_r depende de r.
  • No caso de parede plana (área constante), tanto q quanto \dot{Q} são constantes ao longo da espessura (se não houver geração).

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha \dot{Q}=100\\ \mathrm{W} num cilindro com L=1\\ \mathrm{m}.
  • Em r=0{,}01\\ \mathrm{m}: q_r=\dfrac{100}{2\pi(0{,}01)(1)}\approx 1591\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Em r=0{,}1\\ \mathrm{m}: q_r=\dfrac{100}{2\pi(0{,}1)(1)}\approx 159\\ \mathrm{W/m^2}.
    Ou seja, \dot{Q} igual em todo lugar, mas q_r cai com r.

Resposta

Não — o fluxo de calor radial q_r depende do raio (cai como 1/r no cilindro e como 1/r^2 na esfera).
Sim — a taxa de transferência de calor \dot{Q} (o fluxo total) é independente do raio (é constante em regime estacionário sem geração).

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