O que é a resistência térmica ? Como ela é definida? Quais são suas unidades?
Para a condução através de uma parede plana , você pode escrever de cabeça a expressão da resistência térmica? Analogamente, você pode escrever expressões para a resistência térmica associada à condução através de cascas cilíndricas e esféricas ? De memória, você pode escrever expressões para as resistências térmicas associadas à convecção em uma superfície e à troca líquida de radiação entre a superfície e uma grande vizinhança?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Definir o que é a resistência térmica e como ela é definida.
  • Indicar as unidades da resistência térmica.
  • Fornecer a expressão da resistência térmica para condução através de uma parede plana.
  • Fornecer expressões análogas para condução através de cascas cilíndricas e esféricas.
  • Fornecer expressões para a resistência térmica associada à convecção em uma superfície.
  • Fornecer expressões (de memória) para a resistência térmica associada à troca líquida de radiação entre uma superfície e uma grande vizinhança.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Você quer as fórmulas “de cabeça” (as formas usuais prontas).
  • Precisa também da definição e das unidades.
  • Não há valores numéricos nem figuras adicionais: só fórmulas e explicações.

Passo 2

O que é resistência térmica e sua definição elementar (explicação e motivo)
  • A resistência térmica é uma forma conveniente de quantificar a dificuldade que o calor tem para atravessar um meio ou uma interface em regime estacionário. É a analogia térmica da resistência elétrica.
  • Definição matemática: a resistência térmica R é o quociente entre a diferença de temperaturas que “impulsiona” o fluxo de calor e a taxa de calor que passa. Em símbolos:
R=\frac{\Delta T}{\dot{Q}}
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre dois pontos (em kelvin, K) e \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência térmica, em watts, W).
  • Unidade: como \Delta T tem unidade K e \dot{Q} tem unidade W, a unidade de R é K\!/\!W (kelvin por watt). Em problemas de engenharia também se usa ^{\circ}C\!/\!W porque diferenças de temperatura em K e ^{\circ}C são numericamente equivalentes.
  • Importante: para leis lineares (onde \dot{Q} é proporcional a \Delta T) essa resistência é uma constante. Para processos não-lineares (por exemplo radiação exata), definimos uma resistência linearizada.

Passo 3

Derivação e fórmula da resistência térmica para uma parede plana (explicada passo a passo)
  • Começamos pela lei de Fourier para condução unidimensional estacionária numa parede homogênea: o fluxo de calor é
\dot{Q}=-kA\frac{dT}{dx},
onde k é a condutividade térmica do material (unidade \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}), A é a área perpendicular à direção do fluxo (unidade \mathrm{m^2}), e x é a coordenada na espessura da parede.
  • Em regime estacionário e com k constante, a distribuição de temperatura na parede é linear entre as faces. Integrando de x=0 (temperatura T_1) até x=L (temperatura T_2):
\dot{Q}=kA\frac{T_1-T_2}{L}.
  • Reorganizando para a forma \Delta T/\dot{Q} obtemos a resistência térmica da parede:
R_{\text{parede}}=\frac{L}{kA},
onde L é a espessura da parede (unidade \mathrm{m}).
  • Interpretação prática: quanto maior L ou menor k ou menor A, maior a resistência térmica (mais difícil o calor passar).

Passo 4

Derivação e fórmula da resistência térmica para casca cilíndrica (passo a passo)
  • Considere condução radial estacionária através de uma casca cilíndrica de comprimento L, raio interno r_1 e raio externo r_2. A área radial que transporta calor em uma superfície de raio r é A_r=2\pi r L.
  • A equação da condução radial em coordenadas cilíndricas (para fluxo puramente radial e k constante) dá:
\dot{Q}=-k(2\pi r L)\frac{dT}{dr}.
  • Separe variáveis e integre de r_1 a r_2 e de T_1 a T_2:
\dot{Q}= \frac{2\pi k L}{\ln(r_2/r_1)}(T_1-T_2).
(Procurei manter o passo de integração mental: integrar dT e \frac{dr}{r} \ln.)
  • Assim a resistência térmica radial da casca cilíndrica é
R_{\text{cilindro}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
  • Observação sobre variáveis: r_1,r_2 em metros; L em metros; k em \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}. Unidade de R continua K\!/\!W.

Passo 5

Derivação e fórmula da resistência térmica para casca esférica (passo a passo)
  • Para condução radial entre duas superfícies esféricas concêntricas de raios r_1 e r_2, a área em um raio r é A_r=4\pi r^2.
  • A equação de condução radial em coordenadas esféricas (fluxo radial, k constante) é:
\dot{Q}=-k(4\pi r^2)\frac{dT}{dr}.
  • Separe e integre de r_1 a r_2 (novamente integrar dT e 1/r^2\,dr dá termos 1/r):
\dot{Q}=4\pi k\left(\frac{T_1-T_2}{\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}}\right).
  • Reorganizando, a resistência térmica da casca esférica fica
R_{\text{esfera}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right).
  • Observação: se r_2\to\infty (caso de um objeto esférico isolado trocando calor com o infinito por condução através de um meio extenso), a expressão se adapta adequadamente.

Passo 6

Resistência térmica associada à convecção em uma superfície (explicação e fórmula)
  • A lei de convecção de Newton diz:
\dot{Q}=hA\,(T_s-T_\infty),
onde h é o coeficiente de convecção (unidade \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}), A é a área de troca ( \mathrm{m^2}), T_s é a temperatura da superfície e T_\infty é a temperatura da vizinhança do fluido.
  • Colocando na forma resistência:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}.
  • Interpretação: a convecção atua como uma resistência em paralelo com a interface; um h grande significa pequena resistência convectiva. O valor de h depende do regime (livre/forçado), propriedades do fluido, geometria e diferença de temperatura.

Passo 7

Troca líquida de radiação entre superfície e grande vizinhança — formas exata e linearizada
  • Expressão exata (quando a superfície “vê” uma vizinhança grande com fator de vista aproximadamente 1, e a vizinhança pode ser tratada como corpo negro a T_\infty):
\dot{Q}_{\text{rad}}=\epsilon\sigma A\,(T_s^4-T_\infty^4),
onde \epsilon é a emis­sividade da superfície (adimensional, entre 0 e 1), \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \sigma\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}), e temperaturas em kelvin.
  • Observação importante: essa relação é não-linear em \Delta T, então a noção de resistência térmica como um número fixo não se aplica diretamente sem linearização.
  • Linearização útil (definimos um coeficiente radiativo equivalente h_r que depende das temperaturas médias): a expressão exata pode ser escrita numericamente como
\dot{Q}_{\text{rad}}=h_r A\,(T_s-T_\infty),
onde
h_r=\epsilon\sigma\,(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty).
Isto é apenas uma identidade algébrica: (T_s^4-T_\infty^4)=(T_s-T_\infty)(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty).
  • Aproximação prática (para cálculos rápidos) usa a linearização com temperatura média T_m=(T_s+T_\infty)/2:
h_r\approx 4\epsilon\sigma T_m^3.
  • A resistência radiativa linearizada então é
R_{\text{rad}}=\frac{1}{h_r A}.
  • Observações finais sobre radiação: use a expressão exata quando as diferenças de temperatura forem grandes; use h_r linearizado quando quiser tratar radiação como uma resistência equivalente somável com resistências convectivas em série (por exemplo, convecção + radiação na mesma face).

Passo 8

Como combinar resistências e exemplo prático rápido
  • Em muitas situações de engenharia somamos resistências em série (análogo a resistores elétricos) e usamos:
\dot{Q}=\frac{T_{\text{hot}}-T_{\text{cold}}}{\sum R_i}.
  • Exemplo de montagem comum (parede com convecção dos dois lados):
R_{\text{total}}=\frac{1}{h_1A}+\frac{L}{kA}+\frac{1}{h_2A},
e
\dot{Q}=\frac{T_{\infty,1}-T_{\infty,2}}{R_{\text{total}}}.
  • Unidade do resultado \dot{Q} será W e todas as resistências estão em K\!/\!W.

Resposta

Definição: R=\dfrac{\Delta T}{\dot{Q}} com unidade K\!/\!W.\n
Parede plana (condução): R_{\text{parede}}=\dfrac{L}{kA}.\n
Casca cilíndrica (condução radial): R_{\text{cilindro}}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.\n
Casca esférica (condução radial): R_{\text{esfera}}=\dfrac{1}{4\pi k}\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right).\n
Convecção na superfície: R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA}.\n
Radiação (forma exata): \dot{Q}_{\text{rad}}=\epsilon\sigma A\,(T_s^4-T_\infty^4) e resistência radiativa linearizada R_{\text{rad}}=\dfrac{1}{h_r A} com h_r=\epsilon\sigma\,(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty) (apróx.\ h_r\approx 4\epsilon\sigma T_m^3).

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