O que é a resistência térmica ? Como ela é definida? Quais são suas unidades?
Para a condução através de uma parede plana , você pode escrever de cabeça a expressão da resistência térmica? Analogamente, você pode escrever expressões para a resistência térmica associada à condução através de cascas cilíndricas e esféricas ? De memória, você pode escrever expressões para as resistências térmicas associadas à convecção em uma superfície e à troca líquida de radiação entre a superfície e uma grande vizinhança?
Passo 1
O que o enunciado pede:
Definir o que é a resistência térmica e como ela é definida.
Indicar as unidades da resistência térmica.
Fornecer a expressão da resistência térmica para condução através de uma parede plana.
Fornecer expressões análogas para condução através de cascas cilíndricas e esféricas.
Fornecer expressões para a resistência térmica associada à convecção em uma superfície.
Fornecer expressões (de memória) para a resistência térmica associada à troca líquida de radiação entre uma superfície e uma grande vizinhança.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Você quer as fórmulas “de cabeça” (as formas usuais prontas).
Precisa também da definição e das unidades.
Não há valores numéricos nem figuras adicionais: só fórmulas e explicações.
Passo 2
O que é resistência térmica e sua definição elementar (explicação e motivo)
A resistência térmica é uma forma conveniente de quantificar a dificuldade que o calor tem para atravessar um meio ou uma interface em regime estacionário. É a analogia térmica da resistência elétrica.
Definição matemática: a resistência térmica R é o quociente entre a diferença de temperaturas que “impulsiona” o fluxo de calor e a taxa de calor que passa. Em símbolos:
R=\frac{\Delta T}{\dot{Q}}
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre dois pontos (em kelvin, K) e \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência térmica, em watts, W).
Unidade: como \Delta T tem unidade K e \dot{Q} tem unidade W, a unidade de R é K\!/\!W (kelvin por watt). Em problemas de engenharia também se usa ^{\circ}C\!/\!W porque diferenças de temperatura em K e ^{\circ}C são numericamente equivalentes.
Importante: para leis lineares (onde \dot{Q} é proporcional a \Delta T) essa resistência é uma constante. Para processos não-lineares (por exemplo radiação exata), definimos uma resistência linearizada.
Passo 3
Derivação e fórmula da resistência térmica para uma parede plana (explicada passo a passo)
Começamos pela lei de Fourier para condução unidimensional estacionária numa parede homogênea: o fluxo de calor é
\dot{Q}=-kA\frac{dT}{dx},
onde k é a condutividade térmica do material (unidade \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}), A é a área perpendicular à direção do fluxo (unidade \mathrm{m^2}), e x é a coordenada na espessura da parede.
Em regime estacionário e com k constante, a distribuição de temperatura na parede é linear entre as faces. Integrando de x=0 (temperatura T_1) até x=L (temperatura T_2):
\dot{Q}=kA\frac{T_1-T_2}{L}.
Reorganizando para a forma \Delta T/\dot{Q} obtemos a resistência térmica da parede:
R_{\text{parede}}=\frac{L}{kA},
onde L é a espessura da parede (unidade \mathrm{m}).
Interpretação prática: quanto maior L ou menor k ou menor A, maior a resistência térmica (mais difícil o calor passar).
Passo 4
Derivação e fórmula da resistência térmica para casca cilíndrica (passo a passo)
Considere condução radial estacionária através de uma casca cilíndrica de comprimento L, raio interno r_1 e raio externo r_2. A área radial que transporta calor em uma superfície de raio r é A_r=2\pi r L.
A equação da condução radial em coordenadas cilíndricas (para fluxo puramente radial e k constante) dá:
\dot{Q}=-k(2\pi r L)\frac{dT}{dr}.
Separe variáveis e integre de r_1 a r_2 e de T_1 a T_2:
\dot{Q}= \frac{2\pi k L}{\ln(r_2/r_1)}(T_1-T_2).
(Procurei manter o passo de integração mental: integrar dT e \frac{dr}{r} dá \ln.)
Assim a resistência térmica radial da casca cilíndrica é
R_{\text{cilindro}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
Observação sobre variáveis: r_1,r_2 em metros; L em metros; k em \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}. Unidade de R continua K\!/\!W.
Passo 5
Derivação e fórmula da resistência térmica para casca esférica (passo a passo)
Para condução radial entre duas superfícies esféricas concêntricas de raios r_1 e r_2, a área em um raio r é A_r=4\pi r^2.
A equação de condução radial em coordenadas esféricas (fluxo radial, k constante) é:
\dot{Q}=-k(4\pi r^2)\frac{dT}{dr}.
Separe e integre de r_1 a r_2 (novamente integrar dT e 1/r^2\,dr dá termos 1/r):
Observação: se r_2\to\infty (caso de um objeto esférico isolado trocando calor com o infinito por condução através de um meio extenso), a expressão se adapta adequadamente.
Passo 6
Resistência térmica associada à convecção em uma superfície (explicação e fórmula)
A lei de convecção de Newton diz:
\dot{Q}=hA\,(T_s-T_\infty),
onde h é o coeficiente de convecção (unidade \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}), A é a área de troca (\mathrm{m^2}), T_s é a temperatura da superfície e T_\infty é a temperatura da vizinhança do fluido.
Colocando na forma resistência:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA}.
Interpretação: a convecção atua como uma resistência em paralelo com a interface; um h grande significa pequena resistência convectiva. O valor de h depende do regime (livre/forçado), propriedades do fluido, geometria e diferença de temperatura.
Passo 7
Troca líquida de radiação entre superfície e grande vizinhança — formas exata e linearizada
Expressão exata (quando a superfície “vê” uma vizinhança grande com fator de vista aproximadamente 1, e a vizinhança pode ser tratada como corpo negro a T_\infty):
onde \epsilon é a emissividade da superfície (adimensional, entre 0 e 1), \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann (\sigma\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}), e temperaturas em kelvin.
Observação importante: essa relação é não-linear em \Delta T, então a noção de resistência térmica como um número fixo não se aplica diretamente sem linearização.
Linearização útil (definimos um coeficiente radiativo equivalente h_r que depende das temperaturas médias): a expressão exata pode ser escrita numericamente como
Isto é apenas uma identidade algébrica: (T_s^4-T_\infty^4)=(T_s-T_\infty)(T_s^2+T_\infty^2)(T_s+T_\infty).
Aproximação prática (para cálculos rápidos) usa a linearização com temperatura média T_m=(T_s+T_\infty)/2:
h_r\approx 4\epsilon\sigma T_m^3.
A resistência radiativa linearizada então é
R_{\text{rad}}=\frac{1}{h_r A}.
Observações finais sobre radiação: use a expressão exata quando as diferenças de temperatura forem grandes; use h_r linearizado quando quiser tratar radiação como uma resistência equivalente somável com resistências convectivas em série (por exemplo, convecção + radiação na mesma face).
Passo 8
Como combinar resistências e exemplo prático rápido
Em muitas situações de engenharia somamos resistências em série (análogo a resistores elétricos) e usamos: