Para a condução unidimensional, em regime estacionário, sem geração de calor, qual é a forma da distribuição de temperaturas em uma parede plana ? E em uma casca cilíndrica ? E em uma casca esférica i?
Passo 1
O enunciado pede a forma da distribuição de temperatura, sob as seguintes condições (vou listar tudo de forma clara para depois resolver direitinho):
- Regime estacionário (ou seja, temperatura não depende do tempo).
- Condução unidimensional (a variação de temperatura ocorre só numa direção: na parede plana ao longo de
; na casca cilíndrica radialmente em ; na casca esférica radialmente em ). - Sem geração de calor interna.
- Materiais homogêneos e condutividade térmica
constante (assumo isso porque é o caso usual pedido).
As três perguntas são, separadamente:
- Qual a forma de
em uma parede plana (plano-paralela) entre duas faces? - Qual a forma de
em uma casca cilíndrica (apenas variação radial)? - Qual a forma de
em uma casca esférica (apenas variação radial)?
Vou derivar cada caso, encontrar a expressão geral (com as constantes de integração) e depois mostrar como escrever a solução quando conhecemos as temperaturas nas duas superfícies (caso típico de prova:
e
ou
e
, etc.). Não vamos começar a calcular ainda — isso fica para o próximo passo.
Passo 2
Parede plana (geometria cartesiana, direção
).
Equação diferencial que descreve condução unidimensional em regime estacionário sem geração é a segunda derivada igual a zero. Em símbolos:
Equação diferencial que descreve condução unidimensional em regime estacionário sem geração é a segunda derivada igual a zero. Em símbolos:
Explicando: essa equação significa que a curvatura da temperatura é zero — isto é, a temperatura varia de maneira linear se não há fontes internas nem dependência temporal. Agora integro a equação duas vezes para obter
.
Primeira integração:
onde
é uma constante de integração que representa a inclinação (gradiente) da temperatura.
Segunda integração:
onde
é outra constante de integração (o valor de
quando
, se esse for o referencial). Essas constantes são determinadas por condições de contorno (por exemplo, temperaturas nas faces).
Passo 3
Parede plana — aplicar condições de contorno e fluxo.
Se a parede vai de até
e as temperaturas nas faces são
e
, então substituo para achar
e
.
Se a parede vai de
Substituindo
:
Substituindo
:
Logo a distribuição é
Explico o que isso significa: a temperatura varia linearmente entre
e
. O fluxo de calor no sentido
(lei de Fourier) é
onde
é a condutividade térmica. Esse fluxo por unidade de área é constante ao longo da parede (como deveria ser em regime estacionário sem geração).
Passo 4
Casca cilíndrica (simetria radial, coordenadas cilíndricas).
Para condução radial com simetria circumferencial e longitudinal desprezíveis (isto é, depende só de
), a equação estacionária sem geração é
Para condução radial com simetria circumferencial e longitudinal desprezíveis (isto é,
Explicando: essa é a forma radial da conservação de energia em coordenadas cilíndricas; o fator
aparece porque a área atravessada pelo fluxo varia com
.
Integro a equação uma vez:
onde
é constante.
Isolo
:
Integro de novo:
com
constante de integração. Portanto, a temperatura varia logaritmicamente com o raio em uma casca cilíndrica.
Passo 5
Casca cilíndrica — condições de contorno e fluxo.
Se a casca tem superfícies internas e externas em e
com
e
, determino
e
.
Se a casca tem superfícies internas e externas em
Substituindo
:
Substituindo
:
Subtraindo as duas equações:
logo
Assim a forma final, escrita de modo mais amigável, é
Fluxo de calor total radial (taxa de calor) através de uma superfície cilíndrica de comprimento
: pela lei de Fourier, o fluxo radial por unidade área é
. A taxa total
atravessando a superfície de raio
é
Como
, isso dá (note que
cancela)
em módulo. Essa expressão é constante (independe de
), como esperado em regime estacionário.
Passo 6
Casca esférica (simetria radial, coordenadas esféricas).
Para condução radial com simetria esférica (dependência só em ), a equação estacionária sem geração é
Para condução radial com simetria esférica (dependência só em
Explicando: agora o fator
aparece porque a área de uma esfera cresce como
.
Integro uma vez:
Isolo
:
Integro de novo:
Portanto, a solução tem a forma
(dependência do tipo
).
Passo 7
Casca esférica — condições de contorno e fluxo.
Com superfícies em e
e
,
, encontro as constantes. Das equações
Com superfícies em
subtraindo:
logo
Assim a distribuição pode ser escrita de forma prática como
Taxa de calor total através de uma esfera de raio
é, pela lei de Fourier,
Substituindo
obtemos (cancela
)
Outra forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por
, é
Resposta
Parede plana:
Casca cilíndrica:
Casca esférica: