Para a condução unidimensional, em regime estacionário, sem geração de calor, qual é a forma da distribuição de temperaturas em uma parede plana ? E em uma casca cilíndrica ? E em uma casca esférica i?

Passo 1

O enunciado pede a forma da distribuição de temperatura, sob as seguintes condições (vou listar tudo de forma clara para depois resolver direitinho):
  • Regime estacionário (ou seja, temperatura não depende do tempo).
  • Condução unidimensional (a variação de temperatura ocorre só numa direção: na parede plana ao longo de x; na casca cilíndrica radialmente em r; na casca esférica radialmente em r).
  • Sem geração de calor interna.
  • Materiais homogêneos e condutividade térmica k constante (assumo isso porque é o caso usual pedido).
As três perguntas são, separadamente:
  1. Qual a forma de T em uma parede plana (plano-paralela) entre duas faces?
  2. Qual a forma de T em uma casca cilíndrica (apenas variação radial)?
  3. Qual a forma de T em uma casca esférica (apenas variação radial)?
Vou derivar cada caso, encontrar a expressão geral (com as constantes de integração) e depois mostrar como escrever a solução quando conhecemos as temperaturas nas duas superfícies (caso típico de prova: T(r_1)=T_1 e T(r_2)=T_2 ou T(0)=T_1 e T(L)=T_2, etc.). Não vamos começar a calcular ainda — isso fica para o próximo passo.

Passo 2

Parede plana (geometria cartesiana, direção x).
Equação diferencial que descreve condução unidimensional em regime estacionário sem geração é a segunda derivada igual a zero. Em símbolos:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Explicando: essa equação significa que a curvatura da temperatura é zero — isto é, a temperatura varia de maneira linear se não há fontes internas nem dependência temporal. Agora integro a equação duas vezes para obter T(x).
Primeira integração:
\frac{dT}{dx}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração que representa a inclinação (gradiente) da temperatura.
Segunda integração:
T(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração (o valor de T quando x=0, se esse for o referencial). Essas constantes são determinadas por condições de contorno (por exemplo, temperaturas nas faces).

Passo 3

Parede plana — aplicar condições de contorno e fluxo.
Se a parede vai de x=0 até x=L e as temperaturas nas faces são T(0)=T_{1} e T(L)=T_{2}, então substituo para achar C_{1} e C_{2}.
Substituindo x=0:
T(0)=C_{1}\cdot 0 + C_{2}=T_{1}\Rightarrow C_{2}=T_{1}.
Substituindo x=L:
T(L)=C_{1}L+T_{1}=T_{2}\Rightarrow C_{1}=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}.
Logo a distribuição é
T(x)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x.
Explico o que isso significa: a temperatura varia linearmente entre T_{1} e T_{2}. O fluxo de calor no sentido x (lei de Fourier) é
q_{x}=-k\frac{dT}{dx}=-k\frac{T_{2}-T_{1}}{L}=k\frac{T_{1}-T_{2}}{L},
onde k é a condutividade térmica. Esse fluxo por unidade de área é constante ao longo da parede (como deveria ser em regime estacionário sem geração).

Passo 4

Casca cilíndrica (simetria radial, coordenadas cilíndricas).
Para condução radial com simetria circumferencial e longitudinal desprezíveis (isto é, T depende só de r), a equação estacionária sem geração é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Big(r\frac{dT}{dr}\Big)=0.
Explicando: essa é a forma radial da conservação de energia em coordenadas cilíndricas; o fator r aparece porque a área atravessada pelo fluxo varia com r.
Integro a equação uma vez:
\frac{d}{dr}\!\Big(r\frac{dT}{dr}\Big)=0 \quad\Rightarrow\quad r\frac{dT}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é constante.
Isolo dT/dr:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r}.
Integro de novo:
T(r)=C_{1}\ln r + C_{2},
com C_{2} constante de integração. Portanto, a temperatura varia logaritmicamente com o raio em uma casca cilíndrica.

Passo 5

Casca cilíndrica — condições de contorno e fluxo.
Se a casca tem superfícies internas e externas em r=r_{1} e r=r_{2} com T(r_{1})=T_{1} e T(r_{2})=T_{2}, determino C_{1} e C_{2}.
Substituindo r=r_{1}:
T_{1}=C_{1}\ln r_{1}+C_{2}.
Substituindo r=r_{2}:
T_{2}=C_{1}\ln r_{2}+C_{2}.
Subtraindo as duas equações:
T_{2}-T_{1}=C_{1}\big(\ln r_{2}-\ln r_{1}\big)=C_{1}\ln\!\frac{r_{2}}{r_{1}},
logo
C_{1}=\frac{T_{2}-T_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}.
Assim a forma final, escrita de modo mais amigável, é
T(r)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}\ln\!\frac{r}{r_{1}}.
Fluxo de calor total radial (taxa de calor) através de uma superfície cilíndrica de comprimento L: pela lei de Fourier, o fluxo radial por unidade área é q_{r}=-k\,dT/dr. A taxa total \dot{Q} atravessando a superfície de raio r é
\dot{Q}=-k\,(2\pi r L)\frac{dT}{dr}.
Como dT/dr=C_{1}/r, isso dá (note que r cancela)
\dot{Q}= -k(2\pi r L)\frac{C_{1}}{r}=-2\pi k L C_{1}=2\pi k L\,\frac{T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})},
em módulo. Essa expressão é constante (independe de r), como esperado em regime estacionário.

Passo 6

Casca esférica (simetria radial, coordenadas esféricas).
Para condução radial com simetria esférica (dependência só em r), a equação estacionária sem geração é
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\Big(r^{2}\frac{dT}{dr}\Big)=0.
Explicando: agora o fator r^{2} aparece porque a área de uma esfera cresce como 4\pi r^{2}.
Integro uma vez:
\frac{d}{dr}\!\Big(r^{2}\frac{dT}{dr}\Big)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}\frac{dT}{dr}=C_{1}.
Isolo dT/dr:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}}.
Integro de novo:
T(r)=-\frac{C_{1}}{r}+C_{2}.
Portanto, a solução tem a forma T(r)= -C_{1}/r + C_{2} (dependência do tipo 1/r).

Passo 7

Casca esférica — condições de contorno e fluxo.
Com superfícies em r=r_{1} e r=r_{2} e T(r_{1})=T_{1}, T(r_{2})=T_{2}, encontro as constantes. Das equações
T_{1}=-\frac{C_{1}}{r_{1}}+C_{2},\qquad T_{2}=-\frac{C_{1}}{r_{2}}+C_{2},
subtraindo:
T_{2}-T_{1}=-C_{1}\Big(\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}\Big),
logo
C_{1}=\frac{T_{1}-T_{2}}{\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}}.
Assim a distribuição pode ser escrita de forma prática como
T(r)=T_{1}+\big(T_{2}-T_{1}\big)\,\frac{\displaystyle\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}}{\displaystyle\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}}.
Taxa de calor total através de uma esfera de raio r é, pela lei de Fourier,
\dot{Q}=-k\,(4\pi r^{2})\frac{dT}{dr}.
Substituindo dT/dr=C_{1}/r^{2} obtemos (cancela r^{2})
\dot{Q}=-4\pi k C_{1}=4\pi k\,\frac{T_{1}-T_{2}}{\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}}.
Outra forma equivalente, multiplicando numerador e denominador por r_{1}r_{2}, é
\dot{Q}=4\pi k\,\frac{r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}\,(T_{1}-T_{2}).

Resposta

Parede plana: T(x)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x.
Casca cilíndrica: T(r)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}\ln\!\frac{r}{r_{1}}.
Casca esférica: T(r)=T_{1}+\big(T_{2}-T_{1}\big)\,\frac{\displaystyle\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}}{\displaystyle\frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}}}.

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