A condutividade elétrica num semicondutor do tipo n pode ser apresentada pela seguinte expressão, parecida com a fórmula de Drude:
\sigma=\frac{e^{2} n}{m^{*}}\left\langle\tau_{k}\right\rangle
onde n é a concentração de eletrões na banda de condução e o tempo de relaxação médio é dado por:
\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle=\frac{1}{\frac{3 k_{B} T}{2}} \frac{\int_{0}^{\infty} \tau_{\boldsymbol{k}}\left(\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m^{*}}\right) f^{(0)} k^{2} d k}{\int_{0}^{\infty} f^{(0)} k^{2} d k}
onde T é a temperatura e f^{(0)} é a função de distribuição no equilíbrio térmico (a de Boltzmann). Considerando que o tempo de relaxação microscópico é determinado pela difusão dos eletrões por iões de impureza, \tau_{\boldsymbol{k}}=A v^{3} ( v é a velocidade e A= const), estabeleça a dependência de \left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle com a temperatura.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo que foi fornecido e o que é pedido):
  • A expressão da condutividade (não vamos usá‑la diretamente, mas é parte do enunciado):
\sigma=\frac{e^{2} n}{m^{*}}\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle.
  • A definição do tempo de relaxação médio:
\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle=\frac{1}{\frac{3 k_{B} T}{2}}\frac{\displaystyle\int_{0}^{\infty}\tau_{\boldsymbol{k}}\left(\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m^{*}}\right) f^{(0)}(k)\, k^{2} d k}{\displaystyle\int_{0}^{\infty} f^{(0)}(k)\, k^{2} d k}.
  • A distribuição em equilíbrio é a de Boltzmann, isto é, a função de ocupação depende da energia como \exp\!\big(-\frac{E}{k_{B}T}\big), com a energia da partícula na banda de condução dada por E=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m^{*}}.
  • O tempo de relaxação microscópico é dado por
\tau_{\boldsymbol{k}}=A v^{3},
onde v é a velocidade do elétron e A é constante.
  • O problema pede: estabelecer como \left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle depende da temperatura T (ou seja, encontrar a dependência em potências de T; pode ser suficiente o comportamento \propto T^{\alpha}, mas também podemos obter o fator numérico se quisermos).

Passo 2

Primeiro relacionar v com k. Para elétrons com energia cinética quadrática vale
E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m^{*}}=\frac{1}{2}m^{*}v^{2}.
Desse modo,
v=\frac{\hbar k}{m^{*}}.
Substituindo em \tau_{\boldsymbol{k}}=A v^{3} obtemos
\tau_{\boldsymbol{k}}=A\left(\frac{\hbar k}{m^{*}}\right)^{3}=\frac{A\hbar^{3}}{m^{*3}}\,k^{3}.

Passo 3

Agora escrevemos explicitamente o numerador e o denominador que aparecem na definição de \left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle. Usando E=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m^{*}} e \tau_{\boldsymbol{k}}=\dfrac{A\hbar^{3}}{m^{*3}}k^{3}, o integrando do numerador fica
\tau_{\boldsymbol{k}}\;E\;f^{(0)}(k)\;k^{2} = \frac{A\hbar^{3}}{m^{*3}}k^{3}\cdot\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m^{*}}\cdot f^{(0)}(k)\cdot k^{2} = \frac{A\hbar^{5}}{2m^{*4}}\,k^{7}\,f^{(0)}(k).
Assim o numerador é
N=\frac{A\hbar^{5}}{2m^{*4}}\int_{0}^{\infty} k^{7} f^{(0)}(k)\,dk,
e o denominador é
D=\int_{0}^{\infty} k^{2} f^{(0)}(k)\,dk.
A distribuição de Boltzmann aparece via f^{(0)}(k)\propto \exp\!\big(-\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m^{*}k_{B}T}\big). Para calcular as integrais vamos separar a constante de normalização (ela cancela entre numerador e denominador), portanto podemos usar f^{(0)}(k)=\exp\!\big(-\alpha k^{2}\big) com
\alpha=\frac{\hbar^{2}}{2m^{*}k_{B}T}.

Passo 4

As integrais que surgem têm a forma padrão
\int_{0}^{\infty} k^{n} e^{-\alpha k^{2}} dk.
Uma maneira simples de avaliá‑las é a substituição t=\alpha k^{2}, então k=\sqrt{t/\alpha} e dk=\dfrac{dt}{2\sqrt{\alpha t}}. Assim
\int_{0}^{\infty} k^{n} e^{-\alpha k^{2}} dk = \frac{1}{2}\alpha^{-(n+1)/2}\int_{0}^{\infty} t^{(n-1)/2} e^{-t} dt = \frac{1}{2}\alpha^{-(n+1)/2}\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right),
onde \Gamma é a função gama. Esta é uma fórmula padrão (é a forma que conecta integrais gaussianas a \Gamma).
Aplicando aos nossos n:
  • Para o numerador temos n=7, logo
\int_{0}^{\infty} k^{7} e^{-\alpha k^{2}} dk = \frac{1}{2}\alpha^{-4}\Gamma(4) = \frac{1}{2}\alpha^{-4}\cdot 3! = \frac{1}{2}\alpha^{-4}\cdot 6 =3\alpha^{-4}.
  • Para o denominador temos n=2, logo
\int_{0}^{\infty} k^{2} e^{-\alpha k^{2}} dk = \frac{1}{2}\alpha^{-3/2}\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}\alpha^{-3/2}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4}\,\alpha^{-3/2}.

Passo 5

Substituindo essas integrais em N e D:
N=\frac{A\hbar^{5}}{2m^{*4}}\cdot 3\alpha^{-4}=\frac{3A\hbar^{5}}{2m^{*4}}\alpha^{-4},
D=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\,\alpha^{-3/2}.
A razão é
\frac{N}{D}=\frac{\dfrac{3A\hbar^{5}}{2m^{*4}}\alpha^{-4}}{\dfrac{\sqrt{\pi}}{4}\,\alpha^{-3/2}} = \frac{3A\hbar^{5}}{2m^{*4}}\cdot\frac{4}{\sqrt{\pi}}\cdot\alpha^{-5/2} = \frac{6A\hbar^{5}}{\sqrt{\pi}\,m^{*4}}\,\alpha^{-5/2}.
Agora lembrar o fator prefatorial da definição:
\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle=\frac{2}{3k_{B}T}\cdot\frac{N}{D} = \frac{2}{3k_{B}T}\cdot\frac{6A\hbar^{5}}{\sqrt{\pi}\,m^{*4}}\,\alpha^{-5/2} = \frac{4A\hbar^{5}}{k_{B}T\sqrt{\pi}\,m^{*4}}\,\alpha^{-5/2}.

Passo 6

Substituir agora \alpha=\dfrac{\hbar^{2}}{2m^{*}k_{B}T}. Então
\alpha^{-5/2}=\left(\frac{2m^{*}k_{B}T}{\hbar^{2}}\right)^{5/2} =2^{5/2}\,m^{*5/2}\,(k_{B}T)^{5/2}\,\hbar^{-5}.
Inserindo em \left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle os fatores \hbar^{5} se cancelam e obtemos
\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle = \frac{4A}{k_{B}T\sqrt{\pi}\,m^{*4}}\;2^{5/2}\,m^{*5/2}\,(k_{B}T)^{5/2}.
Simplificando as potências de m^{*} e de (k_{B}T):
m^{*5/2}/m^{*4}=m^{*-3/2},\qquad (k_{B}T)^{5/2}/(k_{B}T)=(k_{B}T)^{3/2}.
E combinando as constantes 4\cdot 2^{5/2}=16\sqrt{2}, obtemos a forma final
\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle = \frac{16\sqrt{2}\,A}{\sqrt{\pi}}\;\frac{(k_{B}T)^{3/2}}{(m^{*})^{3/2}} = \frac{16}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{2}{1}}\,A\;\frac{(k_{B}T)^{3/2}}{(m^{*})^{3/2}}.

Passo 7

Interpretação final e resposta curta: a dependência com a temperatura é
\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle \propto T^{3/2}.
E a forma completa, com o prefactor que obtivemos, é
\left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle = \frac{16\sqrt{2}\,A}{\sqrt{\pi}}\;\frac{(k_{B}T)^{3/2}}{(m^{*})^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle \left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle \propto T^{3/2}
\displaystyle \left\langle\tau_{\boldsymbol{k}}\right\rangle = \frac{16\sqrt{2}\,A}{\sqrt{\pi}}\;\frac{(k_{B}T)^{3/2}}{(m^{*})^{3/2}}

Exercícios relacionados