A condutividade elétrica num semicondutor do tipo
pode ser apresentada pela seguinte expressão, parecida com a fórmula de Drude:
onde
é a concentração de eletrões na banda de condução e o tempo de relaxação médio é dado por:
onde
é a temperatura e
é a função de distribuição no equilíbrio térmico (a de Boltzmann). Considerando que o tempo de relaxação microscópico é determinado pela difusão dos eletrões por iões de impureza,
(
é a velocidade e
const), estabeleça a dependência de
com a temperatura.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo que foi fornecido e o que é pedido):
- A expressão da condutividade (não vamos usá‑la diretamente, mas é parte do enunciado):
- A definição do tempo de relaxação médio:
- A distribuição em equilíbrio é a de Boltzmann, isto é, a função de ocupação depende da energia como
, com a energia da partícula na banda de condução dada por . - O tempo de relaxação microscópico é dado por
onde
é a velocidade do elétron e
é constante.
- O problema pede: estabelecer como
depende da temperatura (ou seja, encontrar a dependência em potências de ; pode ser suficiente o comportamento , mas também podemos obter o fator numérico se quisermos).
Passo 2
Primeiro relacionar
com
. Para elétrons com energia cinética quadrática vale
Desse modo,
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Agora escrevemos explicitamente o numerador e o denominador que aparecem na definição de
. Usando
e
, o integrando do numerador fica
Assim o numerador é
e o denominador é
A distribuição de Boltzmann aparece via
. Para calcular as integrais vamos separar a constante de normalização (ela cancela entre numerador e denominador), portanto podemos usar
com
Passo 4
As integrais que surgem têm a forma padrão
Uma maneira simples de avaliá‑las é a substituição
, então
e
. Assim
onde
é a função gama. Esta é uma fórmula padrão (é a forma que conecta integrais gaussianas a
).
Aplicando aos nossos :
Aplicando aos nossos
- Para o numerador temos
, logo
- Para o denominador temos
, logo
Passo 5
Substituindo essas integrais em
e
:
A razão é
Agora lembrar o fator prefatorial da definição:
Passo 6
Substituir agora
. Então
Inserindo em
os fatores
se cancelam e obtemos
Simplificando as potências de
e de
:
E combinando as constantes
, obtemos a forma final
Passo 7
Interpretação final e resposta curta: a dependência com a temperatura é
E a forma completa, com o prefactor que obtivemos, é