Obtenha a expressão para o fator de degenerescência dos níveis de Landau, v, a partir da expressão para o número de estados eletrónicos num intervalo d k_{z}, com o mesmo índice do nível de Landau, n (sem considerar o spin):
d N=\frac{\Omega \Delta A_{k} d k_{z}}{(2 \pi)^{3}}=v \frac{L_{z} d k_{z}}{2 \pi}
onde \Omega=L_{x} L_{y} L_{z} é o volume do cristal e \Delta A_{\boldsymbol{k}} é a diferença entre as áreas englobadas pelas órbitas ciclotrónicas no espaço recíproco correspondentes a dois níveis de Landau consecutivos ( n e n+1 ). Este aumento da área, \Delta A_{\boldsymbol{k}}, pode ser avaliado pela fórmula geral para a frequência ciclotrónica
\omega_{c}^{-1}=\frac{\hbar^{2} c}{2 \pi}\left[\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}\right]_{k_{z}=c o n}
(Resposta: v=\frac{L_{x} L_{y}}{2 \pi r_{c}^{2}} (para uma componente de spin), r_{c}=
\sqrt{\frac{\hbar c}{e B}} é o “raio ciclotrónico”)

Passo 1

O enunciado pede para obter a expressão do fator de degenerescência v dos níveis de Landau (sem considerar spin), a partir da igualdade entre duas formas para o número de estados num intervalo d k_{z} com o mesmo índice n:
dN=\frac{\Omega\,\Delta A_{\boldsymbol{k}}\,d k_{z}}{(2\pi)^{3}}=v\,\frac{L_{z}\,d k_{z}}{2\pi},
onde estão dadas as seguintes informações:
  • \Omega=L_{x}L_{y}L_{z} é o volume do cristal.
  • \Delta A_{\boldsymbol{k}} é a diferença entre as áreas em k-espaço englobadas por órbitas ciclotrónicas correspondentes a dois níveis consecutivos n e n+1.
  • Foi fornecida a fórmula geral para a frequência ciclotrónica:
\omega_{c}^{-1}=\frac{\hbar^{2} c}{2\pi}\left[\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}\right]_{k_{z}=\text{const}}.
O que a questão quer: isolar v e expressá-lo em termos das dimensões do cristal e do raio ciclotrónico r_{c}=\sqrt{\dfrac{\hbar c}{eB}}. Não considerar spin significa que o resultado será para uma componente de spin (ou seja, sem multiplicar por 2).

Passo 2

Primeiro passo algébrico direto: eliminar d k_{z} das duas expressões de dN e isolar v.
Igualando as duas expressões e cancelando d k_{z} obtemos
\frac{\Omega\,\Delta A_{\boldsymbol{k}}}{(2\pi)^{3}}=v\,\frac{L_{z}}{2\pi}.
Isolando v:
v=\frac{\Omega\,\Delta A_{\boldsymbol{k}}}{(2\pi)^{3}}\cdot\frac{2\pi}{L_{z}} =\frac{\Omega\,\Delta A_{\boldsymbol{k}}}{(2\pi)^{2}L_{z}}.
Substituindo \Omega=L_{x}L_{y}L_{z} simplifica-se a dependência em L_{z}:
v=\frac{L_{x}L_{y}L_{z}\,\Delta A_{\boldsymbol{k}}}{(2\pi)^{2}L_{z}} =\frac{L_{x}L_{y}\,\Delta A_{\boldsymbol{k}}}{(2\pi)^{2}}.
Portanto, para obter v basta calcular \Delta A_{\boldsymbol{k}}, a diferença de área em k-espaço entre níveis consecutivos.

Passo 3

Agora vamos avaliar \Delta A_{\boldsymbol{k}}. Há duas maneiras equivalentes padrão de ver isso: (i) pela quantização semiclas­sica (fórmula de Onsager) que dá diretamente a área quantizada em função de n e B; (ii) usando a relação entre \partial A/\partial E e \omega_{c} e o espaçamento de energia \Delta E=\hbar\omega_{c}. Vou usar a forma direta e bem conhecida (Onsager), explicando-a de forma simples, porque é a forma mais direta para obter \Delta A_{\boldsymbol{k}}.
A condição de quantização semiclas­sica (relação de Onsager–Lifshitz) para órbitas ciclotrónicas em k-espaço diz que as áreas permitidas satisfazem
A_{n}=\frac{2\pi e B}{\hbar c}\left(n+\gamma\right),
onde n é o índice do nível de Landau e \gamma é uma constante de desvio (por exemplo \tfrac{1}{2} no caso simples). O ponto importante é que a diferença entre duas áreas consecutivas é independente de \gamma e vale
\Delta A_{\boldsymbol{k}}=A_{n+1}-A_{n}=\frac{2\pi e B}{\hbar c}.
Comentário didático rápido sobre a origem física: cada nível de Landau corresponde a uma “faixa” em k-espaço cuja área é proporcional ao fluxo magnético B; essa quantização leva à degenerescência macroscópica por nível.
(Observação: pode-se também obter o mesmo resultado usando \Delta A_{\boldsymbol{k}}=(\partial A/\partial E)\Delta E com \Delta E=\hbar\omega_{c} e a relação fornecida entre \partial A/\partial E e \omega_{c}, o que leva à mesma expressão para \Delta A_{\boldsymbol{k}} quando as constantes electromagnéticas são tratadas consistentemente.)

Passo 4

Substituir \Delta A_{\boldsymbol{k}}=\dfrac{2\pi e B}{\hbar c} na expressão já obtida para v:
v=\frac{L_{x}L_{y}}{(2\pi)^{2}}\cdot\frac{2\pi e B}{\hbar c} =\frac{L_{x}L_{y}}{2\pi}\cdot\frac{e B}{\hbar c}.
Agora introduzimos o raio ciclotrónico definido no enunciado:
r_{c}=\sqrt{\frac{\hbar c}{e B}}.
Logo
\frac{e B}{\hbar c}=\frac{1}{r_{c}^{2}}.
Substituindo na expressão para v obtemos a forma final desejada:
v=\frac{L_{x}L_{y}}{2\pi r_{c}^{2}}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: a expressão mostra que a degenerescência por nível é proporcional à área real L_{x}L_{y} dividida por uma área característica em que “cabe” um estado de Landau, esta área característica sendo 2\pi r_{c}^{2}. Como pedido, aqui não foi considerado o fator 2 do spin; incluindo spin multiplicaria v por 2.

Resposta

v=\frac{L_{x}L_{y}}{2\pi r_{c}^{2}}

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