Obtenha a expressão para o fator de degenerescência dos níveis de Landau, v, a partir da expressão para o número de estados eletrónicos num intervalo
, com o mesmo índice do nível de Landau,
(sem considerar o spin):
onde
é o volume do cristal e
é a diferença entre as áreas englobadas pelas órbitas ciclotrónicas no espaço recíproco correspondentes a dois níveis de Landau consecutivos (
e
). Este aumento da área,
, pode ser avaliado pela fórmula geral para a frequência ciclotrónica
(Resposta:
(para uma componente de spin),
é o “raio ciclotrónico”)
Passo 1
O enunciado pede para obter a expressão do fator de degenerescência
dos níveis de Landau (sem considerar spin), a partir da igualdade entre duas formas para o número de estados num intervalo
com o mesmo índice
:
onde estão dadas as seguintes informações:
-
é o volume do cristal. -
é a diferença entre as áreas em -espaço englobadas por órbitas ciclotrónicas correspondentes a dois níveis consecutivos e . - Foi fornecida a fórmula geral para a frequência ciclotrónica:
O que a questão quer: isolar
e expressá-lo em termos das dimensões do cristal e do raio ciclotrónico
. Não considerar spin significa que o resultado será para uma componente de spin (ou seja, sem multiplicar por 2).
Passo 2
Primeiro passo algébrico direto: eliminar
das duas expressões de
e isolar
.
Igualando as duas expressões e cancelando
obtemos
Isolando
:
Substituindo
simplifica-se a dependência em
:
Portanto, para obter
basta calcular
, a diferença de área em
-espaço entre níveis consecutivos.
Passo 3
Agora vamos avaliar
. Há duas maneiras equivalentes padrão de ver isso: (i) pela quantização semiclassica (fórmula de Onsager) que dá diretamente a área quantizada em função de
e
; (ii) usando a relação entre
e
e o espaçamento de energia
. Vou usar a forma direta e bem conhecida (Onsager), explicando-a de forma simples, porque é a forma mais direta para obter
.
A condição de quantização semiclassica (relação de Onsager–Lifshitz) para órbitas ciclotrónicas em
-espaço diz que as áreas permitidas satisfazem
onde
é o índice do nível de Landau e
é uma constante de desvio (por exemplo
no caso simples). O ponto importante é que a diferença entre duas áreas consecutivas é independente de
e vale
Comentário didático rápido sobre a origem física: cada nível de Landau corresponde a uma “faixa” em
-espaço cuja área é proporcional ao fluxo magnético
; essa quantização leva à degenerescência macroscópica por nível.
(Observação: pode-se também obter o mesmo resultado usando
com
e a relação fornecida entre
e
, o que leva à mesma expressão para
quando as constantes electromagnéticas são tratadas consistentemente.)
Passo 4
Substituir
na expressão já obtida para
:
Agora introduzimos o raio ciclotrónico definido no enunciado:
Logo
Substituindo na expressão para
obtemos a forma final desejada:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: a expressão mostra que a degenerescência por nível é proporcional à área real
dividida por uma área característica em que “cabe” um estado de Landau, esta área característica sendo
. Como pedido, aqui não foi considerado o fator 2 do spin; incluindo spin multiplicaria
por 2.