As superfícies de energia constante para um eletrão num semicondutor ou num metal, em geral, não são esféricas. Por isso, a trajectória deste eletrão, sujeito a um campo
magnético estacionário e uniforme, não é circular, quer no espaço real quer no espaço recíproco.
a) Considere o movimento quase-clássico do eletrão, na presença do campo magnético,
, e mostre que o período deste movimento é
onde
é a área da secção da superfície de energia constante (no espaço
) segundo o plano
const (o eixo
é paralelo ao campo magnético).
b) A frequência ciclotrónica é definida como
. Mostre, a partir da fórmula geral da alínea a), que
para um eletrão quase livre com a massa
.
c) Obtenha as expressões para a frequência ciclotrónica num semicondutor onde a massa efetiva do eletrão é anisotrópica, com os valores principais
, quando: (i)
, (ii)
(neste caso deve-se considerar o movimento do eletrão num plano
const).
magnético estacionário e uniforme, não é circular, quer no espaço real quer no espaço recíproco.
a) Considere o movimento quase-clássico do eletrão, na presença do campo magnético,
b) A frequência ciclotrónica é definida como
c) Obtenha as expressões para a frequência ciclotrónica num semicondutor onde a massa efetiva do eletrão é anisotrópica, com os valores principais
Passo 1
O enunciado contém três itens. Vou listar claramente o que é pedido e as informações dadas.
- Pedido (a): Mostrar, no regime quase-clássico, que o período
do movimento de um eletrão sujeito a um campo magnético uniforme (eixo paralelo a ) pode ser escrito como
onde
é a área da secção da superfície de energia constante (no espaço
) no plano
const.
- Pedido (b): A partir da fórmula da alínea (a), mostrar que para um eletrão quase livre (massa
) a frequência ciclotrónica é
- Pedido (c): Para um semicondutor com massa efetiva anisotrópica diagonalizada com
e , obter a frequência ciclotrónica quando:
(i)(usar secção const);
(ii)(usar secção const).
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
- Regime quase-clássico: o elétron segue bandas descritas por energia
e a velocidade é . - Equação de movimento semiclássica (sem campo elétrico):
onde
é a magnitude da carga do electrão (o sinal já aparece no lado esquerdo se quiser incluir
), e
é a velocidade da luz.
- Definição geométrica:
é a área no plano const ocupada pelos pontos tais que .
Passo 2
Apresentar as equações básicas e simplificar para o caso
.
- Equação de movimento semiclássica (sem
):
com
- Colocando
dá as componentes:
Portanto
é constante durante o movimento (isto justifica usar a secção
const) e a trajectória em
-espaco é a intersecção da superfície
com esse plano.
Passo 3
Expressar o tempo elementar
ao longo da trajectória em função do elemento de arco
no espaço
e da velocidade perpendicular ao campo.
- No plano
o módulo da velocidade em -espaço é
onde
é a componente da velocidade (
) no plano perpendicular a
.
- Um pequeno deslocamento ao longo da curva em
-espaço tem comprimento . O tempo necessário para percorrer esse pedaço é
- Assim o período (tempo total para completar a volta) é
Esta expressão já é intuitiva: o tempo é proporcional à integral do comprimento da curva dividido pela velocidade efetiva ao longo da curva, com o factor
que vem da equação de movimento.
Passo 4
Ligar a integral
à derivada
. Aqui faço um pequeno desvio matemático importante e muito usado em física de estados de energia: relação entre derivada de área e integral de contorno.
- Definir a área (no plano
const) preenchida pelos pontos com energia menor ou igual a :
onde
é a função degrau de Heaviside.
- Diferenciando em relação a
e usando dá
- A integral com a delta no plano pode ser convertida numa integral de contorno (usando coordenadas locais na vizinhança da curva
): a fórmula padrão do cálculo diz que
Aqui
é o elemento de comprimento ao longo da curva
no plano
const, e
é o módulo do gradiente no plano.
- Explicando de forma concreta: a delta selecciona a fronteira
; ao integrar sobre a área com a delta, sobra uma integral de contorno onde o jacobiano é .
Passo 5
Substituir
por
e relacionar a integral com
.
- Pelo facto de
, tem-se
quando a curva está no plano perpendicular a
(a componente paralela a
não contribui para o gradiente \emph{no plano}).
- Portanto a expressão anterior dá
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade útil
Passo 6
Substituir essa identidade na expressão para
e obter a fórmula pedida na alínea (a).
- Começando de
e usando
segue-se diretamente que
- Isto é exactamente a fórmula que era preciso demonstrar na alínea (a). Observação: o sinal da carga do electrão não altera o valor do período porque entra apenas no módulo
; o sentido da rotação (sinal da frequência) muda mas o período absoluto permanece como acima.
Passo 7
Resolver a alínea (b): aplicar a fórmula geral ao caso de electrão quase livre.
- Para um electrão livre a dispersão é
- Fixando
e definindo , a condição dá
- A área da secção no plano
const é um círculo de raio , logo
- Derivando em relação a
(e notando que a dependência em é constante para a derivada), obtemos
- Substituindo na fórmula de
(obtida na alínea (a)):
- Finalmente a frequência ciclotrónica é
que é o resultado esperado para um electrón quase livre.
Passo 8
Resolver a alínea (c), caso anisotropia diagonal com
e
. A dispersão (modelo de massa efetiva) é
Vou tratar separadamente os dois subcasos pedidos.
Passo 9
Caso (i):
(usar secção
const).
- Para
fixo, reescrevendo a energia:
onde
não depende de
.
- Assim, no plano
const a curva de é um círculo em coordenadas com
- A área é
e, derivando em ,
- Inserindo na fórmula de
e calculando obtém-se
Portanto, para
a massa relevante é
(o movimento é no plano perpendicular onde a massa é isotrópica
).
Passo 10
Caso (ii):
(usar secção
const).
- Agora fixamos
. A energia reescrita é
Defina a parte dependente de
:
- A curva
no plano const é uma elipse em . Colocando em forma normalizada:
- Os semi-eixos da elipse são
- A área da elipse é
- Note que
depende de linearmente com coeficiente , logo
- Substituindo na fórmula de
:
- Daí
- Interpretação: a massa ciclotrónica eficaz para este caso é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)(i)
(c)(ii)