As superfícies de energia constante para um eletrão num semicondutor ou num metal, em geral, não são esféricas. Por isso, a trajectória deste eletrão, sujeito a um campo
magnético estacionário e uniforme, não é circular, quer no espaço real quer no espaço recíproco.
a) Considere o movimento quase-clássico do eletrão, na presença do campo magnético, \vec{B}, e mostre que o período deste movimento é
T=\frac{\hbar^{2} c}{e B}\left[\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}\right]_{k_{z}=c o n}
onde A_{\boldsymbol{k}}(E) é a área da secção da superfície de energia constante (no espaço \boldsymbol{k} ) segundo o plano k_{z}= const (o eixo z é paralelo ao campo magnético).
b) A frequência ciclotrónica é definida como \omega_{c}=\frac{2 \pi}{T}. Mostre, a partir da fórmula geral da alínea a), que \omega_{c}=\frac{e B}{m_{0} c} para um eletrão quase livre com a massa m_{0}.
c) Obtenha as expressões para a frequência ciclotrónica num semicondutor onde a massa efetiva do eletrão é anisotrópica, com os valores principais m_{x x}=m_{y y}=m_{\perp}, m_{z z}= m_{\|}, quando: (i) \vec{B} \| z, (ii) \vec{B} \| x (neste caso deve-se considerar o movimento do eletrão num plano k_{x}= const).

Passo 1

O enunciado contém três itens. Vou listar claramente o que é pedido e as informações dadas.
  • Pedido (a): Mostrar, no regime quase-clássico, que o período T do movimento de um eletrão sujeito a um campo magnético uniforme \vec{B} (eixo z paralelo a \vec{B}) pode ser escrito como
T=\frac{\hbar^{2} c}{e B}\left[\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}\right]_{k_{z}=\text{const}},
onde A_{\boldsymbol{k}}(E) é a área da secção da superfície de energia constante (no espaço \boldsymbol{k}) no plano k_{z}= const.
  • Pedido (b): A partir da fórmula da alínea (a), mostrar que para um eletrão quase livre (massa m_{0}) a frequência ciclotrónica \omega_{c}=2\pi/T é
\omega_{c}=\frac{e B}{m_{0} c}.
  • Pedido (c): Para um semicondutor com massa efetiva anisotrópica diagonalizada com m_{xx}=m_{yy}=m_{\perp} e m_{zz}=m_{\|}, obter a frequência ciclotrónica quando:
    (i) \vec{B}\parallel z (usar secção k_{z}= const);
    (ii) \vec{B}\parallel x (usar secção k_{x}= const).
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • Regime quase-clássico: o elétron segue bandas descritas por energia \varepsilon(\mathbf{k}) e a velocidade é \mathbf{v}(\mathbf{k})=\dfrac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon(\mathbf{k}).
  • Equação de movimento semiclássica (sem campo elétrico):
\hbar\dot{\mathbf{k}}=-\frac{e}{c}\,\mathbf{v}\times\mathbf{B},
onde e>0 é a magnitude da carga do electrão (o sinal já aparece no lado esquerdo se quiser incluir -e), e c é a velocidade da luz.
  • Definição geométrica: A_{\boldsymbol{k}}(E) é a área no plano k_{z}= const ocupada pelos pontos \mathbf{k} tais que \varepsilon(\mathbf{k})\le E.

Passo 2

Apresentar as equações básicas e simplificar para o caso \vec{B}\parallel z.
  • Equação de movimento semiclássica (sem \mathbf{E}):
\hbar\dot{\mathbf{k}}=-\frac{e}{c}\,\mathbf{v}\times\mathbf{B},
com
\mathbf{v}(\mathbf{k})=\frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon(\mathbf{k}).
  • Colocando \mathbf{B}=B\hat{z} dá as componentes:
\hbar\dot{k}_x=-\frac{eB}{c}v_y,\qquad \hbar\dot{k}_y=\frac{eB}{c}v_x,\qquad \hbar\dot{k}_z=0.
Portanto k_z é constante durante o movimento (isto justifica usar a secção k_z= const) e a trajectória em \mathbf{k}-espaco é a intersecção da superfície \varepsilon(\mathbf{k})=E com esse plano.

Passo 3

Expressar o tempo elementar dt ao longo da trajectória em função do elemento de arco dl no espaço \mathbf{k} e da velocidade perpendicular ao campo.
  • No plano (k_x,k_y) o módulo da velocidade em \mathbf{k}-espaço é
|\dot{\mathbf{k}}|=\sqrt{\dot{k}_x^{2}+\dot{k}_y^{2}}=\frac{eB}{\hbar c}\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=\frac{eB}{\hbar c}\,v_{\perp},
onde v_{\perp} é a componente da velocidade ( \mathbf{v}) no plano perpendicular a \hat{z}.
  • Um pequeno deslocamento ao longo da curva em \mathbf{k}-espaço tem comprimento dl. O tempo necessário para percorrer esse pedaço é
dt=\frac{dl}{|\dot{\mathbf{k}}|}=\frac{\hbar c}{eB}\,\frac{dl}{v_{\perp}}.
  • Assim o período (tempo total para completar a volta) é
T=\oint dt=\frac{\hbar c}{eB}\oint\frac{dl}{v_{\perp}}.
Esta expressão já é intuitiva: o tempo é proporcional à integral do comprimento da curva dividido pela velocidade efetiva ao longo da curva, com o factor \hbar c/(eB) que vem da equação de movimento.

Passo 4

Ligar a integral \oint \dfrac{dl}{v_{\perp}} à derivada \dfrac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}. Aqui faço um pequeno desvio matemático importante e muito usado em física de estados de energia: relação entre derivada de área e integral de contorno.
  • Definir a área (no plano k_z= const) preenchida pelos pontos com energia menor ou igual a E:
A_{\boldsymbol{k}}(E)=\iint \Theta\!\bigl(E-\varepsilon(\mathbf{k})\bigr)\,dk_x\,dk_y,
onde \Theta é a função degrau de Heaviside.
  • Diferenciando em relação a E e usando \dfrac{d}{dE}\Theta(E-\varepsilon)=\delta(E-\varepsilon)
\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}=\iint \delta\!\bigl(E-\varepsilon(\mathbf{k})\bigr)\,dk_x\,dk_y.
  • A integral com a delta no plano pode ser convertida numa integral de contorno (usando coordenadas locais na vizinhança da curva \varepsilon(\mathbf{k})=E): a fórmula padrão do cálculo diz que
\iint \delta\!\bigl(E-\varepsilon(\mathbf{k})\bigr)\,dk_x\,dk_y=\oint\frac{dl}{|\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon(\mathbf{k})|}.
Aqui dl é o elemento de comprimento ao longo da curva \varepsilon(\mathbf{k})=E no plano k_z= const, e |\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon| é o módulo do gradiente no plano.
  • Explicando de forma concreta: a delta selecciona a fronteira \varepsilon=E; ao integrar sobre a área com a delta, sobra uma integral de contorno onde o jacobiano é 1/|\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon|.

Passo 5

Substituir |\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon| por \hbar v_{\perp} e relacionar a integral com \partial A/\partial E.
  • Pelo facto de \mathbf{v}=\dfrac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon, tem-se
|\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon|=\hbar|\mathbf{v}|=\hbar v_{\perp}
quando a curva está no plano perpendicular a \hat{z} (a componente paralela a \hat{z} não contribui para o gradiente \emph{no plano}).
  • Portanto a expressão anterior dá
\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}=\oint\frac{dl}{\hbar v_{\perp}}.
  • Multiplicando ambos os lados por \hbar obtemos a identidade útil
\oint\frac{dl}{v_{\perp}}=\hbar\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}.

Passo 6

Substituir essa identidade na expressão para T e obter a fórmula pedida na alínea (a).
  • Começando de
T=\frac{\hbar c}{eB}\oint\frac{dl}{v_{\perp}}
e usando
\oint\frac{dl}{v_{\perp}}=\hbar\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E},
segue-se diretamente que
T=\frac{\hbar c}{eB}\left(\hbar\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}\right)=\frac{\hbar^{2} c}{e B}\left[\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}\right]_{k_{z}=\text{const}}.
  • Isto é exactamente a fórmula que era preciso demonstrar na alínea (a). Observação: o sinal da carga do electrão não altera o valor do período porque entra apenas no módulo e; o sentido da rotação (sinal da frequência) muda mas o período absoluto permanece como acima.

Passo 7

Resolver a alínea (b): aplicar a fórmula geral ao caso de electrão quase livre.
  • Para um electrão livre a dispersão é
\varepsilon(\mathbf{k})=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{0}}=\frac{\hbar^{2}}{2m_{0}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}).
  • Fixando k_{z} e definindo k_{\perp}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}, a condição \varepsilon(\mathbf{k})=E
k_{\perp}^{2}=\frac{2m_{0}E}{\hbar^{2}}-k_{z}^{2}.
  • A área da secção no plano k_{z}= const é um círculo de raio k_{\perp}, logo
A_{\boldsymbol{k}}(E)=\pi k_{\perp}^{2}=\pi\left(\frac{2m_{0}E}{\hbar^{2}}-k_{z}^{2}\right).
  • Derivando em relação a E (e notando que a dependência em k_{z} é constante para a derivada), obtemos
\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}=\pi\cdot\frac{2m_{0}}{\hbar^{2}}=\frac{2\pi m_{0}}{\hbar^{2}}.
  • Substituindo na fórmula de T (obtida na alínea (a)):
T=\frac{\hbar^{2}c}{eB}\cdot\frac{2\pi m_{0}}{\hbar^{2}}=\frac{2\pi m_{0}c}{eB}.
  • Finalmente a frequência ciclotrónica é
\omega_{c}=\frac{2\pi}{T}=\frac{eB}{m_{0}c},
que é o resultado esperado para um electrón quase livre.

Passo 8

Resolver a alínea (c), caso anisotropia diagonal com m_{xx}=m_{yy}=m_{\perp} e m_{zz}=m_{\|}. A dispersão (modelo de massa efetiva) é
\varepsilon(\mathbf{k})=\frac{\hbar^{2}}{2}\!\left(\frac{k_{x}^{2}}{m_{\perp}}+\frac{k_{y}^{2}}{m_{\perp}}+\frac{k_{z}^{2}}{m_{\|}}\right).
Vou tratar separadamente os dois subcasos pedidos.

Passo 9

Caso (i): \vec{B}\parallel z (usar secção k_{z}= const).
  • Para k_{z} fixo, reescrevendo a energia:
E=\frac{\hbar^{2}}{2}\left(\frac{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{\perp}}\right)+\text{const}(k_z),
onde \text{const}(k_z)=\dfrac{\hbar^{2}k_{z}^{2}}{2m_{\|}} não depende de k_x,k_y.
  • Assim, no plano k_z= const a curva de \varepsilon=E é um círculo em coordenadas k_x,k_y com
k_{\perp}^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=\frac{2m_{\perp}}{\hbar^{2}}\left(E-\frac{\hbar^{2}k_{z}^{2}}{2m_{\|}}\right).
  • A área é A_{\boldsymbol{k}}(E)=\pi k_{\perp}^{2} e, derivando em E,
\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}=\pi\cdot\frac{2m_{\perp}}{\hbar^{2}}=\frac{2\pi m_{\perp}}{\hbar^{2}}.
  • Inserindo na fórmula de T e calculando \omega_{c}=2\pi/T obtém-se
\omega_{c}=\frac{eB}{m_{\perp}c}.
Portanto, para \vec{B}\parallel z a massa relevante é m_{\perp} (o movimento é no plano perpendicular onde a massa é isotrópica m_{\perp}).

Passo 10

Caso (ii): \vec{B}\parallel x (usar secção k_{x}= const).
  • Agora fixamos k_x. A energia reescrita é
E=\frac{\hbar^{2}}{2}\left(\frac{k_{x}^{2}}{m_{\perp}}+\frac{k_{y}^{2}}{m_{\perp}}+\frac{k_{z}^{2}}{m_{\|}}\right).
Defina a parte dependente de k_y,k_z:
E' \equiv E-\frac{\hbar^{2}k_{x}^{2}}{2m_{\perp}}=\frac{\hbar^{2}}{2}\left(\frac{k_{y}^{2}}{m_{\perp}}+\frac{k_{z}^{2}}{m_{\|}}\right).
  • A curva \varepsilon=E no plano k_x= const é uma elipse em (k_y,k_z). Colocando em forma normalizada:
\frac{k_{y}^{2}}{(2E' m_{\perp}/\hbar^{2})}+\frac{k_{z}^{2}}{(2E' m_{\|}/\hbar^{2})}=1.
  • Os semi-eixos da elipse são
a_{y}=\sqrt{\frac{2E' m_{\perp}}{\hbar^{2}}},\qquad a_{z}=\sqrt{\frac{2E' m_{\|}}{\hbar^{2}}}.
  • A área da elipse é
A_{\boldsymbol{k}}(E)=\pi a_{y}a_{z}=\pi\left(\frac{2E'}{\hbar^{2}}\right)\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}.
  • Note que E' depende de E linearmente com coeficiente 1, logo
\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}=\pi\left(\frac{2}{\hbar^{2}}\right)\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}=\frac{2\pi}{\hbar^{2}}\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}.
  • Substituindo na fórmula de T:
T=\frac{\hbar^{2}c}{eB}\cdot\frac{2\pi}{\hbar^{2}}\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}=\frac{2\pi c}{eB}\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}.
  • Daí
\omega_{c}=\frac{2\pi}{T}=\frac{eB}{c\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}}.
  • Interpretação: a massa ciclotrónica eficaz para este caso é m_{\text{c}}=\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}.

Resposta

(a) \displaystyle T=\frac{\hbar^{2} c}{e B}\left[\frac{\partial A_{\boldsymbol{k}}(E)}{\partial E}\right]_{k_{z}=\text{const}}
(b) \displaystyle \omega_{c}=\frac{e B}{m_{0} c}
(c)(i) \displaystyle \omega_{c}=\frac{e B}{m_{\perp} c}
(c)(ii) \displaystyle \omega_{c}=\frac{e B}{c\sqrt{m_{\perp}m_{\|}}}

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