1. A condutividade é uma propriedade elétrica muito importante dos materiais. Sabendose que a condutividade pode ser dada pela expressão \sigma=n \cdot q \cdot \mu (para um metal), sendo \sigma a condutividade, n a densidade volumétrica de portadores, q a quantidade de carga elementar de um portador e \mu a mobilidade do portador, mostre pela expressão dada que a unidade de condutividade no Sistema Internacional é \left[\frac{S}{m}\right]. Como fica a expressão para um material semicondutor? Explique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) mostrar, a partir da expressão \sigma = n \cdot q \cdot \mu (válida para um metal), que a unidade de condutividade no Sistema Internacional é \left[\dfrac{S}{m}\right]; (2) escrever como fica a expressão para um material semicondutor e explicar.
Informações dadas: a fórmula \sigma = n \cdot q \cdot \mu, onde estão envolvidas as quantidades \sigma, n, q e \mu. Neste passo eu apenas enumerei o que se pede e quais dados temos; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Identificar as unidades SI de cada grandeza na fórmula e lembrar o significado físico de cada uma. Vou explicar cada termo devagarinho:
  • \sigma é a condutividade elétrica (queremos sua unidade).
  • n é a densidade volumétrica de portadores: é o número de portadores por unidade de volume. Unidade SI: \mathrm{m^{-3}}. Explicação: “densidade por volume” sempre dá 1/volume; no SI o volume é em \mathrm{m^3}.
  • q é a carga elétrica de cada portador. Unidade SI: \mathrm{C} (coulomb). Observação: muitas vezes usamos |q|=e com e sendo a carga elementar, mas para unidades só precisamos de \mathrm{C}.
  • \mu é a mobilidade do portador. Definição e unidade: \mu é a razão entre velocidade de arraste (drift) v_d e campo elétrico E,
\mu = \frac{v_d}{E}.
Como v_d tem unidade \mathrm{m\;s^{-1}} e E tem unidade \mathrm{V\;m^{-1}}, a unidade de \mu é
\frac{\mathrm{m\;s^{-1}}}{\mathrm{V\;m^{-1}}} = \mathrm{m^2\;V^{-1}\;s^{-1}}.
Expliquei por que \mu tem essa unidade: é velocidade por campo.

Passo 3

Agora fazemos a multiplicação das unidades em \sigma = n\cdot q\cdot \mu. Substituindo as unidades:
[n\cdot q\cdot \mu] = \left[\mathrm{m^{-3}}\right]\cdot [\mathrm{C}]\cdot \left[\mathrm{m^2\;V^{-1}\;s^{-1}}\right].
Multiplicando as potências de \mathrm{m}:
\mathrm{m^{-3}}\cdot \mathrm{m^2} = \mathrm{m^{-1}}.
Logo
[n\cdot q\cdot \mu] = \frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V\;s\;m}}.

Passo 4

Converter \dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{V\;s\;m}} em unidades elétricas mais usuais. Lembrando que 1 ampère é 1\\ \mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{s}}, temos
\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V\;s\;m}} = \frac{\mathrm{C/s}}{\mathrm{V\;m}} = \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{V\;m}}.
E a condutância elétrica (unidade Siemens) é \mathrm{S} = \dfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{V}}. Portanto
\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{V\;m}} = \frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}.
Concluímos que a unidade de \sigma é \left[\dfrac{S}{m}\right], como queríamos provar.

Passo 5

Fazer uma verificação física rápida usando a lei local de Ohm: a densidade de corrente \mathbf{J} é dada por \mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}. Unidades: [\mathbf{J}]=\mathrm{A\;m^{-2}} e [\mathbf{E}]=\mathrm{V\;m^{-1}}. Assim
[\sigma]=\frac{[\mathbf{J}]}{[\mathbf{E}]}=\frac{\mathrm{A\;m^{-2}}}{\mathrm{V\;m^{-1}}}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{V\;m}}=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}},
o que confirma a consistência dimensional.

Passo 6

Agora a parte sobre semicondutores: explicar fisicamente por que a expressão muda e escrever a expressão correta. Em semicondutores existem dois tipos de portadores móveis relevantes: elétrons (carga negativa) e lacunas/holes (com carga positiva efetiva). Cada tipo contribui para a corrente total com sua própria densidade e mobilidade. Portanto a condutividade total é a soma das contribuições:
\sigma = n\cdot |q|\cdot \mu_n + p\cdot |q|\cdot \mu_p,
onde
  • n é a densidade de elétrons livres (unidade \mathrm{m^{-3}}),
  • p é a densidade de lacunas (holes) (unidade \mathrm{m^{-3}}),
  • |q| é o módulo da carga elementar (unidade \mathrm{C}),
  • \mu_n é a mobilidade dos elétrons (unidade \mathrm{m^2\;V^{-1}\;s^{-1}}),
  • \mu_p é a mobilidade das lacunas (unidade \mathrm{m^2\;V^{-1}\;s^{-1}}).
Obs.: usei |q| porque às vezes se escreve q=-e para elétrons; para unidades e soma de contribuições tomamos o módulo da carga. A soma garante que \sigma permaneça com unidade \mathrm{S\;m^{-1}} (cada termo tem essa unidade).

Passo 7

Casos particulares úteis (para você aprender a usar isso na prova):
  • Semicondutor intrínseco (sem dopagem): n=p=n_i (densidade intrínseca). Então
\sigma = |q|\,n_i\left(\mu_n+\mu_p\right).
  • Semicondutor fortemente doado do tipo n (dopagem que gera muitos elétrons): n\gg p, então a condutividade é dominada pelos elétrons e \sigma \approx n\cdot |q|\cdot \mu_n. Similarmente para tipo p com lacunas dominantes.

Resposta

\left[\dfrac{S}{m}\right]
\sigma = n\cdot |q|\cdot \mu_n + p\cdot |q|\cdot \mu_p

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