A condutividade térmica (k), e por extensão a difusividade térmica ( \alpha ) são propriedades dos materiais que indicam a quantidade de calor que pode fluir através do corpo sólido ou do meio fluido sob as condições de temperatura e pressão a que estão submetidos. A ordem de grandeza dos valores de condutividade térmica abrange uma faixa muito ampla, podendo ter valores muito baixos, como para gases, 0,007 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), chegando a cerca de 0,15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) para líquidos, atingindo altos valores para sólidos metálicos 410 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Determine os valores acima para \mathrm{Btu} /\left(\mathrm{h} . \mathrm{ft} .{ }^{\circ} \mathrm{F}\right).
4. A difusividade térmica ( \alpha ) também é uma propriedade térmica dos materiais. Ela é a relação entre a condutividade térmica e a capacidade calorífica volumétrica:
\alpha=\frac{k}{\rho . c_{p}}. O calor específico ( \mathrm{c}_{\mathrm{p}} ) da parafina a 300 K é 2890 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}), a condutividade térmica é 0,82 \mathrm{Btu} /(\mathrm{h} . \mathrm{m} . \mathrm{K}) e sua massa específica é 56,20 \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}. Determine a difusividade térmica no sistema internacional.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  1. Converter três valores de condutividade térmica dados em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) para \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}). Os valores dados são:
0,007,\quad 0,15,\quad 410
(ou seja, 0{,}007, 0{,}15 e 410 em unidades \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}})).
  1. Calcular a difusividade térmica \alpha da parafina em unidades do Sistema Internacional ( \mathrm{m}^2/\mathrm{s}), usando a fórmula
\alpha=\frac{k}{\rho\,c_p},
onde foram fornecidos:
c_p = 2890\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}),
k = 0{,}82\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}),
\rho = 56{,}20\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.

Passo 2

Explicação geral sobre conversões de unidades (como eu faria na prova): quando você converte uma grandeza com unidades compostas, converte cada fator separadamente. Para condutividade térmica \left[\dfrac{\text{energia}}{\text{tempo}\cdot\text{comprimento}\cdot\text{temperatura}}\right] basta converter o numerador (potência) e cada fator do denominador (comprimento e diferença de temperatura). Vou listar as constantes de conversão que vou usar:
1\\ \mathrm{W} = 3{,}412142\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h},
1\\ \mathrm{m} = 3{,}28084\\ \mathrm{ft},
1\\ ^\circ\mathrm{C} = 1{,}8\\ ^\circ\mathrm{F}.
Assim, para passar de \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) para \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}) multiplico por
\frac{3{,}412142\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}}{1\\ \mathrm{W}}\cdot\frac{1\\ \mathrm{m}}{3{,}28084\\ \mathrm{ft}}\cdot\frac{1\\ ^\circ\mathrm{C}}{1{,}8\\ ^\circ\mathrm{F}}.
Colocando isso de forma compacta:
k_{\mathrm{Btu/(h\cdot ft\cdot ^\circ F)}}=k_{\mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}}\cdot\frac{3{,}412142}{3{,}28084\cdot 1{,}8}.

Passo 3

Calcule o fator numérico de conversão:
F=\frac{3{,}412142}{3{,}28084\cdot 1{,}8}.
Faço as multiplicações/divisões passo a passo:
3{,}28084\cdot 1{,}8 = 5{,}905512,
F=\frac{3{,}412142}{5{,}905512}\approx 0{,}5779356.
Portanto
k_{\mathrm{Btu/(h\cdot ft\cdot ^\circ F)}} \approx 0{,}5779356\;k_{\mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}}.

Passo 4

Converto os três valores multiplicando por F.
Para k=0{,}007\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}):
k = 0{,}007\cdot 0{,}5779356 \approx 0{,}0040456\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}).
Para k=0{,}15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}):
k = 0{,}15\cdot 0{,}5779356 \approx 0{,}0866903\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}).
Para k=410\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}):
k = 410\cdot 0{,}5779356 \approx 236{,}0936\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}}).

Passo 5

Agora a difusividade térmica da parafina. Primeiro explico a fórmula e unidades: \alpha mede quão rápido a temperatura se difunde no material; numericamente
\alpha=\frac{k}{\rho\,c_p},
onde
k\\ \text{(condutividade térmica)}\\ [\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})],é
\rho\\ \text{(massa específica)}\\ [\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3],í
c_p\\ \text{(calor específico)}\\ [\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})].í
O denominador \rho c_p tem unidades \mathrm{J}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K}) — chamada capacidade calorífica volumétrica — e \alpha tem então unidades \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 6

Converter k de \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}) para \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}). Uso 1\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}=0{,}29307107\\ \mathrm{W} (inverso de 1\\ \mathrm{W}=3{,}412142\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}):
k = 0{,}82\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}) \cdot 0{,}29307107\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{Btu}/\mathrm{h}}
k \approx 0{,}82\cdot 0{,}29307107 \approx 0{,}2403163\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).

Passo 7

Converter \rho=56{,}20\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 para \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Uso
1\\ \mathrm{lbm}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg},\qquad 1\\ \mathrm{ft}^3=0{,}0283168466\\ \mathrm{m}^3.
Então
\rho = 56{,}20\cdot\frac{0{,}45359237}{0{,}0283168466}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Faço as contas:
56{,}20\cdot 0{,}45359237 \approx 25{,}4918912\\ \mathrm{kg},
\rho \approx \frac{25{,}4918912}{0{,}0283168466} \approx 900{,}2377\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Arredondando razoavelmente, \rho\approx 900{,}24\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Passo 8

Calcular a capacidade calorífica volumétrica \rho c_p:
\rho c_p = 900{,}2377\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \cdot 2890\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K})
\rho c_p \approx 2{,}601{,}686{,}953\\ \mathrm{J}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K}).

Passo 9

Calcular \alpha:
\alpha = \frac{k}{\rho c_p} = \frac{0{,}2403163\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})}{2{,}601{,}686{,}953\\ \mathrm{J}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K})}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J}/\mathrm{s}, as unidades resultam em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Faço a divisão numérica:
\alpha \approx 9{,}2354\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Arredondando a três algarismos significativos:
\alpha \approx 9{,}24\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Resposta

0{,}007\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}})=0{,}00405\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}})\n
0{,}15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}})=0{,}0867\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}})\n
410\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}})=236{,}1\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{^\circ\mathrm{F}})\n
\alpha_{\text{parafina}}\approx 9{,}24\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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