Questão 2 do questionário em PDF - Óleo SAE 30 ( \mu=0,15 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} ) escoa entre duas placas horizontais, paralelas e distanciadas de 3 mm . A placa inferior é imóvel, enquanto a superior apresenta velocidade horizontal igual a 0,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo do eixo x. O gradiente de pressão no escoamento é igual a -40,0 \mathrm{KPa} / \mathrm{m} (na direção x ). Calcule a velocidade média deste escoamento.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a velocidade média do escoamento:
\mu = 0,15\\ \mathrm{N\cdot s/m^2},
\text{distância entre placas } h = 3\\ \mathrm{mm} = 0,003\\ \mathrm{m},â
\text{velocidade da placa superior } U = 0,3\\ \mathrm{m/s},
\frac{dp}{dx} = -40{,}0\\ \mathrm{kPa/m} = -40000\\ \mathrm{Pa/m}.
O que se pede: calcular a velocidade média da camada de fluido entre as placas, isto é \overline{u}=\dfrac{1}{h}\int_{0}^{h}u(y)\,dy, onde y é a coordenada vertical medida a partir da placa inferior.

Passo 2

Vamos modelar o perfil de velocidade u(y). Assumimos escoamento estacionário, unidirecional (somente componente u(x,y)=u(y) no sentido x), e totalmente desenvolvido (varição somente em y). Com essas hipóteses, o equilíbrio entre gradiente de pressão e tensões viscosas reduz a equação para
0 = -\frac{dp}{dx} + \mu \frac{d^2u}{dy^2}.
Aqui:
  • \dfrac{dp}{dx} é o gradiente de pressão (conhecido),
  • \mu é a viscosidade (conhecida),
  • u(y) é a velocidade na direção x que queremos encontrar.

Passo 3

Reescrevendo a equação diferencial de forma explícita:
\mu \frac{d^2u}{dy^2} = \frac{dp}{dx}.
Definimos
A \equiv \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx},
então
\frac{d^2u}{dy^2} = A.
Integramos duas vezes em y para obter a solução geral:
\frac{du}{dy} = A y + C_1,
u(y) = \frac{A}{2}y^2 + C_1 y + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração a determinar pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno de não deslizamento (no-slip):
u(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 0,
u(h) = U \quad\Rightarrow\quad \frac{A}{2}h^2 + C_1 h = U.
Da segunda equação obtemos
C_1 = \frac{U - \dfrac{A}{2}h^2}{h}.

Passo 5

Calculemos A numericamente usando os dados:
A = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx} = \frac{-40000}{0,15}.
Fazendo a conta:
A = -266666{,}666\ldots \approx -2{,}6667\times 10^{5}\\ \mathrm{m^{-1}s^{-1}}.
Agora calculamos \dfrac{A}{2}h^2. Primeiro h^2=(0,003)^2=9\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2}. Então
\frac{A}{2}h^2 = \frac{-266666{,}666\ldots}{2}\times 9\times 10^{-6} = -133333{,}333\ldots\times 9\times 10^{-6} = -1{,}2\\ \mathrm{m/s}.
Logo
C_1 = \frac{U - \dfrac{A}{2}h^2}{h} = \frac{0{,}3 - (-1{,}2)}{0{,}003} = \frac{1{,}5}{0{,}003} = 500\\ \mathrm{s^{-1}}.
Portanto o perfil completo é
u(y) = \frac{A}{2}y^2 + 500\,y.

Passo 6

Agora calculamos a velocidade média
\overline{u}=\frac{1}{h}\int_{0}^{h}u(y)\,dy = \frac{1}{h}\int_{0}^{h}\left(\frac{A}{2}y^2 + C_1 y\right)dy.
Fazendo a integral simbolicamente:
\overline{u}=\frac{1}{h}\left(\frac{A}{2}\cdot\frac{h^3}{3} + C_1\cdot\frac{h^2}{2}\right) = \frac{A h^2}{6} + \frac{C_1 h}{2}.
Substituímos C_1 = \dfrac{U - \tfrac{A}{2}h^2}{h} para simplificar:
\frac{C_1 h}{2} = \frac{U - \tfrac{A}{2}h^2}{2} = \frac{U}{2} - \frac{A h^2}{4}.
Portanto
\overline{u} = \frac{U}{2} + A h^2\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\right) = \frac{U}{2} - \frac{A h^2}{12}.
Voltando A=\dfrac{1}{\mu}\dfrac{dp}{dx}, obtemos a forma prática
\overline{u} = \frac{U}{2} - \frac{h^2}{12\mu}\frac{dp}{dx}.
Esta fórmula é útil porque mostra claramente a contribuição da placa móvel ( U/2) e a contribuição da pressão (segunda parcela).

Passo 7

Substituímos os números na fórmula final:
\frac{U}{2} = \frac{0{,}3}{2} = 0{,}15\\ \mathrm{m/s},
\frac{h^2}{12\mu} = \frac{(0{,}003)^2}{12\cdot 0{,}15} = \frac{9\times 10^{-6}}{1{,}8} = 5\times 10^{-6}\\ \mathrm{s/m}.
Multiplicando pelo \dfrac{dp}{dx}=-40000\\ \mathrm{Pa/m}:
-\frac{h^2}{12\mu}\frac{dp}{dx} = -5\times 10^{-6}\times(-40000) = 0{,}20\\ \mathrm{m/s}.
Somando as parcelas:
\overline{u} = 0{,}15 + 0{,}20 = 0{,}35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Interpretação física (rápida e motivadora): o gradiente de pressão negativo (queda de pressão na direção do escoamento) age acelerando o fluido, por isso a velocidade média ( 0{,}35\\ \mathrm{m/s}) é maior que U/2 = 0{,}15\\ \mathrm{m/s}. Você chegou até aqui — mandou bem! Repasse as integrais e os sinais uma vez mais e fica firme para a prova.

Resposta

\;0{,}35\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados