Num conduto de ferro fundido novo, de 200 mm de diâmetro, a pressão em A é de 2,4 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}, e no ponto B é de 1,8 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Sabendo-se que o ponto B está situado a uma distância de 1000 m do ponto A , e mais elevado 1,4 \mathrm{~m} em relação a este, calcule:
a) O sentido do escoamento
b) a vazão
OBS:. Usar a Fórmula de Hazen-Williams; \mathrm{C}=130.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Diâmetro do conduto: D=200\\ \mathrm{mm}=0,200\\ \mathrm{m}.
  • Pressão em A: p_A=2,4\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Pressão em B: p_B=1,8\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
  • Distância entre A e B (comprimento da tubulação considerada): L=1000\\ \mathrm{m}.
  • Desnível: o ponto B está 1,4\\ \mathrm{m} mais elevado que A, ou seja z_B-z_A=+1,4\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de Hazen‑Williams: C=130.
O enunciado pede:
(a) determinar o sentido do escoamento;
(b) calcular a vazão Q usando a fórmula de Hazen‑Williams.

Passo 2

Primeiro converto as pressões para altura de coluna de água (carga piezométrica de pressão). Para isso uso que 1\\ \mathrm{kgf/cm^2}=9{,}80665\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} e que a carga de pressão (em metros de água) é \dfrac{p}{\rho g}. Com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2} obtemos, convenientemente,
1\\ \mathrm{kgf/cm^2}=\frac{9{,}80665\times10^{4}}{1000\cdot 9{,}80665}=10\\ \mathrm{m\\ de\\ água}.á
Portanto:
\text{carga de pressão em A:}\quad \frac{p_A}{\rho g}=2{,}4\times10=24\\ \mathrm{m};ã
\text{carga de pressão em B:}\quad \frac{p_B}{\rho g}=1{,}8\times10=18\\ \mathrm{m}.ã

Passo 3

Calculo as cabeças piezométricas (padrão: pressão em m de água + cota). Tomando z_A=0 como referência e z_B=1{,}4\\ \mathrm{m}:
H_A=\frac{p_A}{\rho g}+z_A=24+0=24\\ \mathrm{m},
H_B=\frac{p_B}{\rho g}+z_B=18+1{,}4=19{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Comparando as cabeças: H_A=24\\ \mathrm{m} e H_B=19{,}4\\ \mathrm{m}. Como H_A>H_B, a energia disponível em A é maior, logo o escoamento será do ponto A para o ponto B. (Obs.: a carga cinética v^2/(2g) cancela nas duas seções porque o diâmetro é o mesmo.)

Passo 5

A perda de carga entre A e B (devida ao atrito ao longo dos L=1000\\ \mathrm{m}) é a diferença de cabeça:
h_f=H_A-H_B=24-19{,}4=4{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora uso a fórmula de Hazen‑Williams na forma prática para unidades SI (carga em metros, Q em \mathrm{m^3/s}, D em metros, L em metros):
h_f=\frac{10{,}67\;L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}.
Onde:
  • h_f é a perda de carga (m),
  • L é o comprimento da tubulação (m),
  • Q é a vazão (m^3/s),
  • C é o coeficiente de Hazen‑Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno (m).

Passo 7

Isolo Q da fórmula:
Q^{1{,}852}=\frac{h_f\;C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}{10{,}67\;L}, \qquad Q=\left(\frac{h_f\;C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}{10{,}67\;L}\right)^{\!1/1{,}852}.

Passo 8

Substituo os valores numéricos passo a passo:
C^{1{,}852}=130^{1{,}852}\approx 8{,}237\quad(\text{valor aproximado}),
D^{4{,}87}=(0{,}200)^{4{,}87}\approx 3{,}937\times10^{-4}.
Multiplicando:
C^{1{,}852}D^{4{,}87}\approx 8{,}237\times 3{,}937\times10^{-4}\approx 3{,}244.
Agora o numerador:
h_f\;C^{1{,}852}D^{4{,}87}=4{,}6\times 3{,}244\approx 14{,}931.
E o denominador:
10{,}67\;L=10{,}67\times1000=10\,670.
Então a fração é
\frac{14{,}931}{10\,670}\approx 0{,}0013993.
Finalmente:
Q=\bigl(0{,}0013993\bigr)^{1/1{,}852}\approx 0{,}0287\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 9

Converto para unidades mais usuais:
Q\approx 0{,}0287\\ \mathrm{m^3/s}=28{,}7\\ \mathrm{L/s}.
Em \mathrm{m^3/h}:
Q\approx 0{,}0287\times3600\approx103{,}3\\ \mathrm{m^3/h}.
Comentário rápido de incentivo: pronto — tem fluxo do A para B e a vazão calculada dá cerca de 29\\ \mathrm{L/s}. Segue método que dá para reproduzir na prova: converter pressões para metros de água, calcular diferença de cabeça incluindo elevação, usar Hazen‑Williams e isolar Q.

Resposta

(a) O escoamento é do ponto A para o ponto B.
(b) Q\approx 0{,}0287\\ \mathrm{m^3/s} (aprox. 28{,}7\\ \mathrm{L/s}).

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