Uma canalização de ferro fundido novo, com 250 mm de diâmetro é alimentada por um reservatório cujo nível está na cota 220 . Calcular a pressão no ponto de cota 180 , a 1500 m do reservatório, para a vazão de 401 / \mathrm{s}. (Usar Hazen-Williams).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele nos dá (vou listar numericamente):
Pede: calcular a pressão no ponto de cota 180 (ou seja, altitude z=180\\ \mathrm{m}) localizado a 1500\\ \mathrm{m} do reservatório.
Dados do enunciado:
Nível do reservatório: z_{\text{res}}=220\\ \mathrm{m}.
Distância ao ponto: L=1500\\ \mathrm{m}.
Cota do ponto: z_{\text{ponto}}=180\\ \mathrm{m}.
Diâmetro da tubulação: D=250\\ \mathrm{mm}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
Vazão: vou interpretar a notação do enunciado como 401\\ \mathrm{L/s}, isto é, \,Q=0{,}401\\ \mathrm{m^3/s}. (Se o enunciado pretendia outra unidade, o resultado muda — aqui assumo essa interpretação porque 401 sem unidade absoluta seria fisicamente absurdo.)
Tubulação: ferro fundido novo → coeficiente de Hazen–Williams C=130 (valor tabelado para ferro fundido novo).
O que vou determinar: a pressão no ponto (tomarei como pressão relativa à atmosfera — pressão manométrica), em Pascal.
Passo 2
Qual método vamos usar e as fórmulas importantes (explicadas com calma)
Ideia física: a energia por unidade de peso que existe na superfície livre do reservatório (cota 220) é convertida, ao longo da tubulação, em perda de carga por atrito e energia cinética. Usamos a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e o ponto, incluindo perda de carga por atrito h_f. Esquematicamente:
\underbrace{z_{\text{res}}}_{\text{cota superfície}} \;=\; \underbrace{z_{\text{ponto}}}_{\text{cota no ponto}} \;+\; \underbrace{\dfrac{p}{\rho g}}_{\text{cota equivalente da pressão}} \;+\; \underbrace{\dfrac{v^2}{2g}}_{\text{cota cinética}} \;+\; \underbrace{h_f}_{\text{perda por atrito}},
onde:
\rho é a massa específica da água (\rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
g é a aceleração da gravidade (g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
p é a pressão no ponto (manométrica, relativa à atmosfera),
v é a velocidade média da água na tubulação,
h_f é a perda de carga por atrito ao longo do comprimento L.
Para avaliar h_f usaremos a fórmula empírica de Hazen–Williams, muito usada para água em tubulações cheias. Na forma conveniente para SI:
Comentário didático: essa velocidade é relativamente alta para água em rede de distribuição; velocidades típicas são 1–3 m/s. Uma velocidade alta aumenta muito as perdas por atrito.
Passo 4
Calcular a energia cinética por unidade de peso \dfrac{v^2}{2g}
Primeiro v^2=(8{,}1718)^2\approx66{,}786\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Interpretação: a parcela da “cota” que corresponde à energia cinética é \approx3{,}41\\ \mathrm{m}.
Passo 5
Calcular a perda de carga por Hazen–Williams passo a passo (cálculo das potências e constantes)
Vamos calcular as potências necessárias com cuidado:
Q^{1{,}852}. Com Q=0{,}401,
Q^{1{,}852}\approx0{,}1839.
D^{4{,}870}. Com D=0{,}25,
D^{4{,}870}\approx0{,}0011689.
C^{1{,}852}. Com C=130,
C^{1{,}852}\approx8{,}179\times10^{3}.(Esses valores foram obtidos por cálculo de potências; a ideia é mostrar cada termo numérico que entra na fórmula.)
Explicação: a perda por atrito ao longo de 1500\\ \mathrm{m} nessa tubulação e com essa vazão é muito alta, cerca de 308\\ \mathrm{m} de coluna de água.
Passo 6
Aplicar Bernoulli e calcular a pressão no ponto
A equação rearranjada para pressão manométrica p (em termos de \rho g) é:
Em unidades mais usuais: -2{,}661{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx-2{,}66\\ \mathrm{MPa} (pressão manométrica). Em bar isso é aproximadamente -26{,}6\\ \mathrm{bar} (since 1\\ \mathrm{bar}=10^5\\ \mathrm{Pa}).
Passo 7
Interpretação física e comentário final (o que esse resultado quer nos dizer)
Resultado negativo e enorme (pressão muito abaixo da atmosfera) significa que, com os parâmetros fornecidos (especialmente a vazão alta num cano relativamente estreito), a perda por atrito requerida para transportar \,Q=0{,}401\\ \mathrm{m^3/s} ao longo de 1500\\ \mathrm{m} excede a energia disponível entre a superfície do reservatório e o ponto (que é apenas 40\\ \mathrm{m} de queda de cota).
Consequência prática: não é possível manter esse regime sem que a tubulação entre em cavitação / formação de vácuo (o que é impossível se houver água plena e pressão abaixo da pressão de vapor). Na prática a vazão real estabilizaria num valor muito menor, ou então ocorreriam bolhas e descolamento de água; o desenho do sistema deveria prever diâmetro maior ou menor comprimento ou reduzir a vazão.
Observação final: se se pretende um valor de pressão manométrica não-negativo, precisa-se reduzir Q ou aumentar D (ou ambos). Se quiser, posso calcular a vazão máxima para manter p\ge0 no ponto — isto é, a vazão que torna \dfrac{p}{\rho g}=0 — mas isso foge do pedido original (posso fazer se desejar).