Uma canalização de ferro fundido novo, com 250 mm de diâmetro é alimentada por um reservatório cujo nível está na cota 220 . Calcular a pressão no ponto de cota 180 , a 1500 m do reservatório, para a vazão de 401 / \mathrm{s}. (Usar Hazen-Williams).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele nos dá (vou listar numericamente):
  • Pede: calcular a pressão no ponto de cota 180 (ou seja, altitude z=180\\ \mathrm{m}) localizado a 1500\\ \mathrm{m} do reservatório.
  • Dados do enunciado:
    • Nível do reservatório: z_{\text{res}}=220\\ \mathrm{m}.
    • Distância ao ponto: L=1500\\ \mathrm{m}.
    • Cota do ponto: z_{\text{ponto}}=180\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro da tubulação: D=250\\ \mathrm{mm}=0{,}25\\ \mathrm{m}.
    • Vazão: vou interpretar a notação do enunciado como 401\\ \mathrm{L/s}, isto é, \,Q=0{,}401\\ \mathrm{m^3/s}. (Se o enunciado pretendia outra unidade, o resultado muda — aqui assumo essa interpretação porque 401 sem unidade absoluta seria fisicamente absurdo.)
    • Tubulação: ferro fundido novo → coeficiente de Hazen–Williams C=130 (valor tabelado para ferro fundido novo).
  • O que vou determinar: a pressão no ponto (tomarei como pressão relativa à atmosfera — pressão manométrica), em Pascal.

Passo 2

Qual método vamos usar e as fórmulas importantes (explicadas com calma)
  • Ideia física: a energia por unidade de peso que existe na superfície livre do reservatório (cota 220) é convertida, ao longo da tubulação, em perda de carga por atrito e energia cinética. Usamos a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e o ponto, incluindo perda de carga por atrito h_f. Esquematicamente:
\underbrace{z_{\text{res}}}_{\text{cota superfície}} \;=\; \underbrace{z_{\text{ponto}}}_{\text{cota no ponto}} \;+\; \underbrace{\dfrac{p}{\rho g}}_{\text{cota equivalente da pressão}} \;+\; \underbrace{\dfrac{v^2}{2g}}_{\text{cota cinética}} \;+\; \underbrace{h_f}_{\text{perda por atrito}},íãé
onde:
  • \rho é a massa específica da água ( \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • p é a pressão no ponto (manométrica, relativa à atmosfera),
  • v é a velocidade média da água na tubulação,
  • h_f é a perda de carga por atrito ao longo do comprimento L.
  • Para avaliar h_f usaremos a fórmula empírica de Hazen–Williams, muito usada para água em tubulações cheias. Na forma conveniente para SI:
h_f \;=\; 10{,}67\;\dfrac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}870}},
onde:
  • h_f em metros,
  • L em metros,
  • Q em \mathrm{m^3/s},
  • D em metros,
  • C adimensional (coeficiente de rugosidade Hazen–Williams).
  • Também precisamos da área e velocidade:
A=\dfrac{\pi D^2}{4},\qquad v=\dfrac{Q}{A}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo, explicando cada variável.

Passo 3

Calcular a área da seção e a velocidade média v
  • Área da seção:
A=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi(0{,}25)^2}{4}=\pi\cdot0{,}015625\approx0{,}0490874\\ \mathrm{m^2}.
Explicação curta: D^2=0{,}0625 e dividir por 4 0{,}015625; multiplicando por \pi obtém-se a área útil do cano.
  • Velocidade média:
v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0{,}401}{0{,}0490874}\approx8{,}1718\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: essa velocidade é relativamente alta para água em rede de distribuição; velocidades típicas são 1–3 m/s. Uma velocidade alta aumenta muito as perdas por atrito.

Passo 4

Calcular a energia cinética por unidade de peso \dfrac{v^2}{2g}
  • Primeiro v^2=(8{,}1718)^2\approx66{,}786\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
  • Então
\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{66{,}786}{2\cdot9{,}81}\approx\dfrac{66{,}786}{19{,}62}\approx3{,}405\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a parcela da “cota” que corresponde à energia cinética é \approx3{,}41\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a perda de carga por Hazen–Williams passo a passo (cálculo das potências e constantes)
  • Vamos calcular as potências necessárias com cuidado:
    • Q^{1{,}852}. Com Q=0{,}401,
    Q^{1{,}852}\approx0{,}1839.
    • D^{4{,}870}. Com D=0{,}25,
    D^{4{,}870}\approx0{,}0011689.
    • C^{1{,}852}. Com C=130,
    C^{1{,}852}\approx8{,}179\times10^{3}.(Esses valores foram obtidos por cálculo de potências; a ideia é mostrar cada termo numérico que entra na fórmula.)
  • Agora a fórmula:
h_f=10{,}67\;\dfrac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}870}}.
Substituindo L=1500\\ \mathrm{m} e os termos calculados:
h_f\approx10{,}67\cdot\dfrac{1500\cdot0{,}1839}{8{,}179\times10^{3}\cdot0{,}0011689}.
  • Calcular numerador e denominador:
    • Numerador: 1500\cdot0{,}1839\approx275{,}85. Multiplicando por 10{,}67 \approx2\,943{,}0.
    • Denominador: 8{,}179\times10^{3}\cdot0{,}0011689\approx9{,}56.
  • Portanto:
h_f\approx\dfrac{2\,943{,}0}{9{,}56}\approx307{,}8\\ \mathrm{m}.
Explicação: a perda por atrito ao longo de 1500\\ \mathrm{m} nessa tubulação e com essa vazão é muito alta, cerca de 308\\ \mathrm{m} de coluna de água.

Passo 6

Aplicar Bernoulli e calcular a pressão no ponto
  • A equação rearranjada para pressão manométrica p (em termos de \rho g) é:
\dfrac{p}{\rho g}=z_{\text{res}}-z_{\text{ponto}}-h_f-\dfrac{v^2}{2g}.
Substituindo números:
\dfrac{p}{\rho g}=220-180-307{,}8-3{,}405=40-307{,}8-3{,}405\approx-271{,}205\\ \mathrm{m}.
  • Multiplicando por \rho g (com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, logo \rho g=9810\\ \mathrm{N/m^3}):
p=\rho g\cdot\bigl(\tfrac{p}{\rho g}\bigr)\approx9810\cdot(-271{,}205)\approx-2{,}661{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Em unidades mais usuais: -2{,}661{,}6\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx-2{,}66\\ \mathrm{MPa} (pressão manométrica). Em bar isso é aproximadamente -26{,}6\\ \mathrm{bar} (since 1\\ \mathrm{bar}=10^5\\ \mathrm{Pa}).

Passo 7

Interpretação física e comentário final (o que esse resultado quer nos dizer)
  • Resultado negativo e enorme (pressão muito abaixo da atmosfera) significa que, com os parâmetros fornecidos (especialmente a vazão alta num cano relativamente estreito), a perda por atrito requerida para transportar \,Q=0{,}401\\ \mathrm{m^3/s} ao longo de 1500\\ \mathrm{m} excede a energia disponível entre a superfície do reservatório e o ponto (que é apenas 40\\ \mathrm{m} de queda de cota).
  • Consequência prática: não é possível manter esse regime sem que a tubulação entre em cavitação / formação de vácuo (o que é impossível se houver água plena e pressão abaixo da pressão de vapor). Na prática a vazão real estabilizaria num valor muito menor, ou então ocorreriam bolhas e descolamento de água; o desenho do sistema deveria prever diâmetro maior ou menor comprimento ou reduzir a vazão.
  • Observação final: se se pretende um valor de pressão manométrica não-negativo, precisa-se reduzir Q ou aumentar D (ou ambos). Se quiser, posso calcular a vazão máxima para manter p\ge0 no ponto — isto é, a vazão que torna \dfrac{p}{\rho g}=0 — mas isso foge do pedido original (posso fazer se desejar).

Resposta

-2{,}66\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}

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