Num conduto de ferro fundido com revestimento epóxico ( C=130 ), com 400 mm de diâmetro, a pressão um certo ponto é de 24 mca e a 1 km deste ponto 12 mca . A diferença de cotas entre esses dois pontos é de 2,8 \mathrm{~m}. Calcule a vazão de escoamento. (Resposta \mathrm{Q}= 0,33 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Revestimento epóxico com coeficiente de Hazen–Williams C=130.
  • Diâmetro do tubo: D=400\\ \mathrm{mm} = 0,4\\ \mathrm{m}.
  • Distância entre os dois pontos: L=1{,}0\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m}.
  • Pressão no ponto 1: p_1 = 24\\ \mathrm{mca} (metros de coluna d’água — já é cabeça de pressão).
  • Pressão no ponto 2: p_2 = 12\\ \mathrm{mca}.
  • Diferença de cotas entre os dois pontos: 2{,}8\\ \mathrm{m}. Vou considerar que o ponto onde p_1=24\\ \mathrm{mca} está mais alto do que o ponto onde p_2=12\\ \mathrm{mca}, ou seja, z_1-z_2=2{,}8\\ \mathrm{m} (essa é a interpretação que leva à resposta indicada).
  • O que é pedido: calcular a vazão Q de escoamento (em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}).

Passo 2

Determinar a cabeça perdida por atrito h_f entre os dois pontos usando a equação de energia (Bernoulli com perda por atrito). Para mesma seção (mesma velocidade) a forma simplificada é
h_f = \frac{p_1}{\gamma} + z_1 - \left(\frac{p_2}{\gamma} + z_2\right),
onde \dfrac{p}{\gamma} é a cabeça de pressão em metros (mca já dá esse valor) e z é a cota. Portanto
h_f = (p_1 - p_2) + (z_1 - z_2).
Substituindo os valores (com p_1=24, p_2=12, z_1-z_2=2{,}8):
h_f = (24 - 12) + 2{,}8 = 14{,}8\\ \mathrm{m}.
Explicação didática rápida: a diferença de pressão dá 12 m de cabeça disponível; como o ponto 1 está 2,8 m mais alto, soma-se essa diferença à perda total que o fluido deve vencer—logo a perda por atrito ao longo do trecho é 14{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escolher a fórmula apropriada: dado que o enunciado informou C=130 (coeficiente de Hazen–Williams) estamos em regime de hidráulica de condutos usando a fórmula empírica de Hazen–Williams. A expressão usada (forma usual no SI) para a perda de carga total h_f é
h_f = 10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}},
onde:
  • h_f é a perda de carga por atrito em metros ( \mathrm{m}),
  • L é o comprimento do trecho em metros ( \mathrm{m}),
  • Q é a vazão em \mathrm{m}^3/\mathrm{s},
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno em metros ( \mathrm{m}),
  • o 10{,}67 é uma constante empírica que acompanha esta forma da equação no SI.
Observação didática: a fórmula de Hazen–Williams é empírica e usada para água em condutos cheios; os expoentes 1{,}852 e 4{,}87 aparecem da regressão experimental. O C mede a rugosidade interior (maior C → menor perda).

Passo 4

Isolar Q da fórmula de Hazen–Williams. A partir de
h_f = 10{,}67\;\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}},
temos
Q^{1{,}852} = \frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}{10{,}67\,L},
logo
Q = \left(\frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}{10{,}67\,L}\right)^{\!\frac{1}{1{,}852}}.

Passo 5

Calcular passo a passo os termos numéricos (usar aproximações com 3–4 dígitos relevante para prova; vou mostrar como fazer sem calculadora complicada, mas com uso de logaritmos ou uma calculadora básica):
Dados: h_f=14{,}8\\ \mathrm{m}, C=130, D=0,4\\ \mathrm{m}, L=1000\\ \mathrm{m}.
Calcular C^{1{,}852}:
C^{1{,}852} = 130^{1{,}852} \approx 8{,}24\times10^{3}\quad(\text{valor aproximado }8239).
Calcular D^{4{,}87}:
D^{4{,}87} = (0,4)^{4{,}87} \approx 1{,}157\times10^{-2}\quad(\text{valor aproximado }0{,}01157).
Multiplicando esses dois:
C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}\approx 8239\times0{,}01157 \approx 95{,}3.
Agora o numerador da fração interna:
h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87} \approx 14{,}8\times95{,}3 \approx 1410{,}4.
Denominador:
10{,}67\,L = 10{,}67\times1000 = 10{,}670.
A razão interna é:
\frac{h_f\,C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}}{10{,}67\,L} \approx \frac{1410{,}4}{10{,}670} \approx 0{,}1322.

Passo 6

Elevar à potência 1/1{,}852. O expoente é aproximadamente 0{,}5395. Então
Q \approx (0{,}1322)^{0{,}5395}.
Usando logaritmos ou calculadora:
\ln(0{,}1322)\approx -2{,}023,\quad -2{,}023\times0{,}5395\approx -1{,}091,
portanto
Q \approx e^{-1{,}091}\approx 0{,}335\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando para dois algarismos significativos conforme o enunciado, dá
Q \approx 0{,}33\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Comentário didático final: verifique sempre a orientação das cotas (qual ponto está mais alto); isso altera h_f. Aqui adotamos z_1-z_2=2{,}8\\ \mathrm{m} (ponto com 24 mca mais alto), o que levou ao resultado esperado. A metodologia é: calcular a perda de carga a partir das cabeças conhecidas e depois aplicar Hazen–Williams para obter Q.

Resposta

Q = 0{,}33\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}

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