Dois reservatórios, cujos níveis estão nas cotas 186 m e 166 m , são ligados por uma canalização de ferro fundido novo (\mathrm{e}=0,00025 \mathrm{~m}) com 8 km de comprimento. Calcular o diâmetro do conduto para que o reservatório mais elevado forneça ao outro 2808 \mathrm{~m}^{3} de água em 12 horas. Sabe-se que a viscosidade cinemática da água é igual a 1,007.10^{-6} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois reservatórios com cotas 186\\ \mathrm{m} e 166\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da tubulação: L=8\\ \mathrm{km}=8000\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade absoluta do ferro fundido novo: \varepsilon=0,00025\\ \mathrm{m}.
  • Volume a ser transferido: 2808\\ \mathrm{m}^{3} em 12\\ \mathrm{h}.
  • Viscosidade cinemática da água: \nu=1,007\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
O que é pedido: calcular o diâmetro do conduto D tal que o reservatório mais elevado forneça ao outro o volume pedido em 12 horas.
Observações imediatas (extras que usarei): a perda de carga por atrito ao longo do tubo (Darcy–Weisbach) é igual à diferença de cota entre reservatórios (assumindo perdas menores desprezíveis e reservatórios abertos sem velocidade significativa nas superfícies).

Passo 2

Calcular a vazão média desejada e a diferença de nível (carga disponível).
  • Vazão média:
Q=\frac{2808}{12\cdot 3600}=\frac{2808}{43200}=0,065\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • Diferença de cota (carga disponível):
\Delta H=186-166=20\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Apresentar a equação que relaciona D à perda de carga e à vazão.
A perda de carga por atrito usando Darcy–Weisbach é
h_{f}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • L é o comprimento do tubo ( \mathrm{m});
  • D é o diâmetro interior ( \mathrm{m});
  • V é a velocidade média do fluido ( \mathrm{m/s});
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
A velocidade média está relacionada com a vazão por
V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^{2}}.
Substituindo V em h_f e igualando a perda de carga à carga disponível \Delta H (isto é, h_f=\Delta H), obtemos
\Delta H = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\left(\frac{4Q}{\pi D^{2}}\right)^{2}.
Simplificando:
\Delta H = f\,\frac{8 L Q^{2}}{\pi^{2} g}\,\frac{1}{D^{5}}.
Esta equação mostra que D^{5} é proporcional a f. Porém f depende de D via o número de Reynolds e a rugosidade relativa \varepsilon/D. Logo precisamos de um procedimento iterativo.

Passo 4

Explicar como obter f (fator de atrito) de forma prática.
O fator f depende do regime de escoamento:
  • Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu}.
  • Rugosidade relativa: \dfrac{\varepsilon}{D}.
Para escoamento turbulento em tubulação rugosa e para poder obter f sem iteração complicada, uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (muito usada em engenharia):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Aqui:
  • \log_{10} é o logaritmo decimal;
  • \mathrm{Re} é o número de Reynolds calculado com V correspondente ao diâmetro D.
Plano prático: assumir um valor inicial de f (por ex. 0{,}02), calcular D pela equação direta, calcular V e \mathrm{Re}, recalcular f pela Swamee–Jain e iterar até convergir.

Passo 5

Fazer a primeira estimativa de D usando uma suposição inicial f_0=0{,}02.
A fórmula rearranjada para D é:
D=\left(\frac{f\,8 L Q^{2}}{\pi^{2} g\,\Delta H}\right)^{1/5}.
Substituindo valores numéricos (usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}):
  • Calcular 8 L Q^{2}:
8 L Q^{2}=8\cdot 8000\cdot (0{,}065)^{2}.
(0{,}065)^{2}=0{,}004225. Então
8 L Q^{2}=8\cdot 8000\cdot 0{,}004225=64000\cdot 0{,}004225=270{,}4.
  • Calcular \pi^{2} g \Delta H:
\pi^{2}\approx 9{,}8696,\qquad \pi^{2} g \Delta H \approx 9{,}8696\cdot 9{,}81\cdot 20 \approx 1936{,}42.
  • Portanto, com f_0=0{,}02,
D^{5}=\frac{0{,}02\cdot 270{,}4}{1936{,}42}\approx 0{,}002793.
Tirar a raiz quinta:
D \approx 0{,}308\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular velocidade V, número de Reynolds \mathrm{Re} e rugosidade relativa com D=0{,}308\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade:
V=\frac{4Q}{\pi D^{2}}=\frac{4\cdot 0{,}065}{\pi\cdot (0{,}308)^{2}}.
Calculei:
(0{,}308)^{2}=0{,}094864,\quad \pi D^{2}\approx 0{,}2979.
Assim
V\approx \frac{0{,}26}{0{,}2979}\approx 0{,}874\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}=\frac{0{,}874\cdot 0{,}308}{1{,}007\times 10^{-6}}\approx 2{,}67\times10^{5}.
  • Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00025}{0{,}308}\approx 8{,}11\times10^{-4}.
Isto indica escoamento turbulento (Re bem maior que 4000), então a fórmula de Swamee–Jain é apropriada.

Passo 7

Calcular o novo f usando Swamee–Jain e os valores obtidos.
Swamee–Jain:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Calcular os termos:
  • \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}=\dfrac{0{,}00025}{3{,}7\cdot 0{,}308}\approx 0{,}0002194.
  • \mathrm{Re}^{0{,}9}: para \mathrm{Re}\approx 2{,}67\times10^{5}, \mathrm{Re}^{0{,}9}\approx 7{,}693\times10^{4}, então \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 7{,}46\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}0002194+0{,}0000746=0{,}0002940.
Tomando logaritmo decimal:
\log_{10}(0{,}0002940)\approx -3{,}531.
Então
f \approx 0{,}25/(-3{,}531)^{2}\approx 0{,}02004.

Passo 8

Recalcular D usando f=0{,}02004 e verificar convergência.
Usando a expressão para D:
D^{5}=\frac{f\cdot 270{,}4}{1936{,}42}=\frac{0{,}02004\cdot 270{,}4}{1936{,}42}\approx 0{,}0028002,
logo
D\approx 0{,}3083\\ \mathrm{m}.
A variação em relação à iteração anterior (0,308 → 0,3083) é muito pequena, portanto a solução está convergida.

Passo 9

Interpretação final e arredondamento prático.
O diâmetro interno calculado é D\approx 0{,}3083\\ \mathrm{m}, ou seja cerca de 308\\ \mathrm{mm}. Em projeto normalmente escolhe-se um diâmetro comercial imediatamente superior ou próximo (por exemplo tubo nominal de 300\\ \mathrm{mm} ou 315\\ \mathrm{mm} dependendo das normas e espessuras), mas o cálculo hidráulico indica D\approx 0{,}308\\ \mathrm{m}.

Resposta

D=0,308\\ \mathrm{m} (aprox. 308\\ \mathrm{mm}).

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