Dois reservatórios, cujos níveis estão nas cotas 186 m e 166 m , são ligados por uma canalização de ferro fundido novo
com 8 km de comprimento. Calcular o diâmetro do conduto para que o reservatório mais elevado forneça ao outro
de água em 12 horas. Sabe-se que a viscosidade cinemática da água é igual a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dois reservatórios com cotas
e . - Comprimento da tubulação:
. - Rugosidade absoluta do ferro fundido novo:
. - Volume a ser transferido:
em . - Viscosidade cinemática da água:
.
O que é pedido: calcular o diâmetro do conduto
tal que o reservatório mais elevado forneça ao outro o volume pedido em 12 horas.
Observações imediatas (extras que usarei): a perda de carga por atrito ao longo do tubo (Darcy–Weisbach) é igual à diferença de cota entre reservatórios (assumindo perdas menores desprezíveis e reservatórios abertos sem velocidade significativa nas superfícies).
Passo 2
Calcular a vazão média desejada e a diferença de nível (carga disponível).
- Vazão média:
- Diferença de cota (carga disponível):
Passo 3
Apresentar a equação que relaciona
à perda de carga e à vazão.
A perda de carga por atrito usando Darcy–Weisbach é
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional); -
é o comprimento do tubo ( ); -
é o diâmetro interior ( ); -
é a velocidade média do fluido ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ).
A velocidade média está relacionada com a vazão por
Substituindo
em
e igualando a perda de carga à carga disponível
(isto é,
), obtemos
Simplificando:
Esta equação mostra que
é proporcional a
. Porém
depende de
via o número de Reynolds e a rugosidade relativa
. Logo precisamos de um procedimento iterativo.
Passo 4
Explicar como obter
(fator de atrito) de forma prática.
O fator
depende do regime de escoamento:
- Número de Reynolds:
. - Rugosidade relativa:
.
Para escoamento turbulento em tubulação rugosa e para poder obter
sem iteração complicada, uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (muito usada em engenharia):
Aqui:
-
é o logaritmo decimal; -
é o número de Reynolds calculado com correspondente ao diâmetro .
Plano prático: assumir um valor inicial de
(por ex.
), calcular
pela equação direta, calcular
e
, recalcular
pela Swamee–Jain e iterar até convergir.
Passo 5
Fazer a primeira estimativa de
usando uma suposição inicial
.
A fórmula rearranjada para
é:
Substituindo valores numéricos (usando
):
- Calcular
:
- Calcular
:
- Portanto, com
,
Tirar a raiz quinta:
Passo 6
Calcular velocidade
, número de Reynolds
e rugosidade relativa com
.
- Velocidade:
Calculei:
Assim
Assim
- Número de Reynolds:
- Rugosidade relativa:
Isto indica escoamento turbulento (Re bem maior que
), então a fórmula de Swamee–Jain é apropriada.
Passo 7
Calcular o novo
usando Swamee–Jain e os valores obtidos.
Swamee–Jain:
Calcular os termos:
-
-
: para , , então
Somando:
Tomando logaritmo decimal:
Então
Passo 8
Recalcular
usando
e verificar convergência.
Usando a expressão para
:
logo
A variação em relação à iteração anterior (0,308 → 0,3083) é muito pequena, portanto a solução está convergida.
Passo 9
Interpretação final e arredondamento prático.
O diâmetro interno calculado é
, ou seja cerca de
. Em projeto normalmente escolhe-se um diâmetro comercial imediatamente superior ou próximo (por exemplo tubo nominal de
ou
dependendo das normas e espessuras), mas o cálculo hidráulico indica
.