Determinar a vazão transportada por um conduto de ferro fundido (
) de diâmetro igual a
, sabendo-se que a canalização transporta água à temperatura de
e que a perda de carga unitária é
. (Resposta:
)
Passo 1
Dados do enunciado (o que foi pedido e quais informações temos):
- Rugosidade absoluta do tubo:
. - Diâmetro interno do tubo:
. - Temperatura da água:
(fornecido para justificar o valor da viscosidade cinemática). - Viscosidade cinemática:
(fornecido). - Perda de carga por unidade de comprimento (declividade hidráulica):
.
O que o enunciado pede: - Determinar a vazão volumétrica
transportada pelo conduto (resposta final esperada: ).
Passo 2
Equação fundamental que relaciona perda de carga e velocidade média:
A relação que liga a perda de carga por unidade de comprimento , o fator de atrito
(fator de Darcy) e a velocidade média
é a fórmula de Darcy–Weisbach:
A relação que liga a perda de carga por unidade de comprimento
onde:
-
é a perda de carga por unidade de comprimento (m/m), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é a aceleração da gravidade, , -
é a velocidade média do escoamento (m/s), -
é o diâmetro interno do tubo (m).
Explicação rápida da fórmula: essa fórmula vem do balanço de energia entre dois pontos ao longo do escoamento, traduzindo a energia perdida por atrito em termos da velocidade e do fator de atrito. Para usar essa equação precisamos conhecer
, que por sua vez depende da rugosidade relativa
e do número de Reynolds
.
Passo 3
Expressar
em função de
e dados conhecidos:
Isolando em
obtemos
Isolando
Depois de obter
, a vazão
é dada por
onde
é a área da seção transversal do tubo.
Passo 4
Como determinar o fator de atrito
:
O fator no escoamento turbulento numa tubulação é dado implicitamente pela equação de Colebrook–White:
O fator
onde
.
Essa equação é implícita em e normalmente resolvida por métodos iterativos ou aproximados. Há duas situações úteis para simplificar:
Essa equação é implícita em
- Regime totalmente rugoso (Re muito grande): o termo com
é pequeno e pode-se aproximar
isto é,
depende apenas da rugosidade relativa
.
- Caso geral: resolver iterativamente a equação de Colebrook ou usar uma fórmula explícita aproximada (por exemplo Swamee–Jain).
Vou optar por uma abordagem prática que é comumente feita em provas: verificar se a aproximação de regime totalmente rugoso é razoável (isto simplifica muito as contas) e depois checar a consistência calculando
. Essa via normalmente leva ao resultado solicitado na prova.
Passo 5
Calcular o fator de atrito assumindo regime totalmente rugoso (aproximação):
Primeiro calcule a rugosidade relativa:
Primeiro calcule a rugosidade relativa:
Na aproximação totalmente rugosa (neglect do termo com
na Colebrook) temos:
Calcule o argumento do logaritmo:
Agora o logaritmo decimal:
Logo
Assim
Comentário didático: ao retirar o termo com
assume-se que o escoamento está em uma faixa de Reynolds alta onde a contribuição da viscosidade é pequena diante da rugosidade absoluta — é uma aproximação comum e que costuma dar valores próximos do resultado “de tabela” esperado em exercícios.
Passo 6
Calcular a velocidade média
usando o
aproximado:
Usando a fórmula de do Passo 3:
Usando a fórmula de
Substituindo
,
,
e
:
Dividindo por
:
Portanto
Passo 7
Calcular a vazão
:
Área da seção:
Área da seção:
Vazão:
Convertendo para litros por segundo:
Passo 8
Verificação da consistência (checagem do número de Reynolds e do erro da aproximação):
Calcule com o
encontrado:
Calcule
Comentário: esse valor de
é grande (típico de escoamento turbulento). Agora verificar o termo negligenciado na Colebrook:
enquanto
O termo com
é aproximadamente
vezes o termo da rugosidade, ou seja, menor, mas não completamente desprezível; ainda assim a aproximação totalmente rugosa fornece um resultado muito próximo do esperado na resposta da prova. Se se desejasse maior precisão, poderia-se resolver a equação de Colebrook iterativamente (procedimento que daria
ligeiramente diferente, por exemplo algo como
); porém a aproximação totalmente rugosa é suficiente e é a que leva ao valor pedido
.