Num condutor cilíndrico maciço de raio b flui uma corrente i_{0}. A densidade de corrente varia com a distância do eixo do cilindro de acordo com a relação j=A r., onde r é a distância ao eixo central e A é uma constante. Determine do campo magnético para os seguintes pontos: (a) r >b, \mathrm{e}(\mathrm{b}) r<\mathrm{b}.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico maciço de raio b pelo qual passa uma corrente total i_{0}. A densidade de corrente varia segundo
j(r)=A\,r,
onde r é a distância ao eixo e A é constante. Queremos achar o campo magnético \mathbf{B}(r) tanto para pontos externos r>b quanto internos r<b. Vamos usar a lei de Ampère, que diz
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_{0}I_{\mathrm{enc}}.

Passo 2

Primeiro determinamos A a partir da corrente total. A corrente total é a integral da densidade sobre a seção transversal:
i_{0}=\int_{0}^{b}j(r)\,dA =\int_{0}^{b}A\,r\,(2\pi r\,dr) =2\pi A\int_{0}^{b}r^{2}dr =2\pi A\frac{b^{3}}{3}.
Logo
A=\frac{3\,i_{0}}{2\pi b^{3}}.

Passo 3

Para r<b, a corrente encotrada até um raio r é
I_{\mathrm{enc}}(r) =\int_{0}^{r}A\,\rho\,(2\pi \rho\,d\rho) =2\pi A\int_{0}^{r}\rho^{2}d\rho =2\pi A\frac{r^{3}}{3}.
Substituindo A, obtemos
I_{\mathrm{enc}}(r) =\frac{2\pi}{3}\,\frac{3\,i_{0}}{2\pi b^{3}}\,r^{3} =i_{0}\,\frac{r^{3}}{b^{3}}.

Passo 4

Aplicando Ampère num círculo de raio r<b, o campo é tangencial e uniforme em módulo:
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,I_{\mathrm{enc}}(r) \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi r}\,\frac{r^{3}}{b^{3}} =\frac{\mu_{0}\,i_{0}\,r^{2}}{2\pi b^{3}}.
A direção é azimutal \hat{\varphi}, portanto para r<b,
\mathbf{B}(r) =\frac{\mu_{0}\,i_{0}\,r^{2}}{2\pi b^{3}}\;\hat{\varphi}.

Passo 5

Para r>b, toda a corrente i_{0} está encotrada. Pela lei de Ampère num círculo de raio r:
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,i_{0} \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi r},
sempre na direção \hat{\varphi}.

Resposta

Para r<b:
\mathbf{B}(r) =\frac{\mu_{0}\,i_{0}\,r^{2}}{2\pi b^{3}}\;\hat{\varphi}.
Para r>b:
\mathbf{B}(r) =\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi r}\;\hat{\varphi}.

Exercícios relacionados