Sobre o fenômeno da decoerência. Vimos em sala de aula que um pacote formado por infinitas ondas sofre dispersão à medida que ele se propaga. Mostramos que quanto mais estreito for o pacote no início, mais rápido ele se alarga durante a propagação. Isso ocorre porque as ondas constituintes do pacote têm características distintas, de modo que elas viajam com velocidades diferentes, semelhantemente ao que ocorre com as ondas eletromagnéticas se propagando na matéria. Este efeito, conhecido como decoerência, é o principal limitador para as aplicações dos fenômenos quânticos na escala macroscópica, como ocorre, por exemplo, com a computação quântica. Verifique essas informações para o caso de um pacote de onda gaussiano que descreve uma partícula livre, calculando a mudança fracional, ou seja, \Delta x(t) / \Delta x(0), na largura do pacote em 1 ms quando:
a) 0 pacote representa um elétron de massa 9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, sendo que o pacote de ondas tem dimensão inicial de 1 \mu \mathrm{~m}. Repita o cálculo para uma largura inicial de 1 nm . Comente sua resposta.
b) 0 pacote representa um objeto de massa 1 \mu \mathrm{~g} e tamanho de 1 \mu \mathrm{~m}. Comente sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação fracional na largura de um pacote de onda gaussiano livre,
ou seja
\frac{\Delta x(t)}{\Delta x(0)},
em t=1\,\mathrm{ms}, para dois casos:
  • a) um elétron m=9{,}1\times10^{-31}\,\mathrm{kg} com \Delta x(0)=1\,\mu\mathrm{m} e depois com \Delta x(0)=1\,\mathrm{nm};
  • b) um objeto macroscópico m=1\,\mu\mathrm{g}=10^{-9}\,\mathrm{kg} com \Delta x(0)=1\,\mu\mathrm{m}.
O conteúdo é dispersão de pacotes de onda em mecânica quântica, usando a evolução temporal da largura de um pacote gaussiano livre.

Passo 2

Para um pacote gaussiano livre vale
\Delta x(t) = \Delta x(0)\,\sqrt{1+\biggl(\frac{\hbar\,t}{2\,m\,[\Delta x(0)]^{2}}\biggr)^{2}},
logo a variação fracional é
\frac{\Delta x(t)}{\Delta x(0)} = \sqrt{1+\left(\frac{\hbar\,t}{2\,m\,[\Delta x(0)]^{2}}\right)^{2}}.

Passo 3

Caso elétron com \Delta x(0)=1\,\mu\mathrm{m}=10^{-6}\,\mathrm{m}.
Substituindo \hbar=1{,}05\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}, t=1\times10^{-3}\,\mathrm{s}, m=9{,}1\times10^{-31}\,\mathrm{kg}:
\alpha \equiv \frac{\hbar\,t}{2\,m\,[\Delta x(0)]^{2}} = \frac{1{,}05\times10^{-34}\times10^{-3}}{2\times9{,}1\times10^{-31}\times(10^{-6})^{2}} \approx5{,}8\times10^{4}.
Então
\frac{\Delta x(t)}{\Delta x(0)} \approx\sqrt{1+(5{,}8\times10^{4})^{2}} \approx5{,}8\times10^{4}.

Passo 4

Mesmo elétron com \Delta x(0)=1\,\mathrm{nm}=10^{-9}\,\mathrm{m}:
\alpha = \frac{1{,}05\times10^{-34}\times10^{-3}}{2\times9{,}1\times10^{-31}\times(10^{-9})^{2}} \approx5{,}8\times10^{10},
\frac{\Delta x(t)}{\Delta x(0)} \approx5{,}8\times10^{10}.

Passo 5

Comentário para o elétron: mesmo em 1\,\mathrm{ms}, o pacote gaussiano se espalha enormemente ( 10^{4} 10^{10} vezes a largura inicial), evidenciando forte dispersão quântica.

Passo 6

Caso objeto de m=1\,\mu\mathrm{g}=10^{-9}\,\mathrm{kg} e \Delta x(0)=1\,\mu\mathrm{m}=10^{-6}\,\mathrm{m}:
\alpha = \frac{1{,}05\times10^{-34}\times10^{-3}}{2\times10^{-9}\times(10^{-6})^{2}} \approx5{,}3\times10^{-17},
\frac{\Delta x(t)}{\Delta x(0)} = \sqrt{1+(5{,}3\times10^{-17})^{2}} \approx1 + 1{,}4\times10^{-33}\approx1.

Passo 7

Comentário para o objeto macroscópico: a dispersão é totalmente desprezível em 1\,\mathrm{ms}, mostrando por que fenômenos quânticos macroscópicos ficam “coerentes” por muito mais tempo.

Resposta

a) Para o elétron:
- \Delta x(0)=1\,\mu\mathrm{m}\implies \Delta x(t)/\Delta x(0)\approx5{,}8\times10^{4}.
- \Delta x(0)=1\,\mathrm{nm}\implies \Delta x(t)/\Delta x(0)\approx5{,}8\times10^{10}.
b) Para o objeto de 1\,\mu\mathrm{g}: \Delta x(0)=1\,\mu\mathrm{m}\implies \Delta x(t)/\Delta x(0)\approx1 (variação totalmente insignificante).

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