Sobre o oscilador harmônico quântico livre. Discutimos em sala de aula o importantíssimo modelo idealizado para uma partícula que está sob a ação de uma força restauradora e a amplitude do seu movimento é de dimensões atômicas. Usamos o método de operadores e encontramos que a função que descreve a localização da partícula é escrita como
, sendo
os polinômios de Hermite,
o ponto do espaço onde ocorre o equilíbrio e
é a distância que a partícula se encontra de
. Aplicando o operador energia
no estado fundamental
, encontramos a energia deste estado, que foi escrita como
. Aplicando o operador de excitação
vezes no estado fundamental
encontramos a energia do
-ésimo estado como
. Podíamos ter encontrado o mesmo resultado
aplicando o operador energia
apenas uma vez no estado
. Mas isso seria uma operação matemática muito mais complicada. Esta questão pede que você encontre os níveis de energia de uma partícula de massa
dentro do mesmo potencial do oscilador harmônico, mas que está restrita a se mover apenas metade direita dele:
Mostre que as energias ficam alteradas e podem ser escritos como:
Dicas: Não é necessário resolver a equação de Schrödinger para achar estas novas energias para este potencial. Observe as novas condições de contorno e explore a simetria das soluções que encontramos em sala de aula.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
sujeita ao potencial harmônico
mas com barreira infinita em
. Precisamos achar os níveis de energia desse “oscilador meio a meio” usando o fato de que conhecemos já as soluções do oscilador harmônico livre e explorando a simetria (paridade) das autofunções.
Passo 2
Como há barreira infinita em
, a função de onda deve satisfazer as condições de contorno
e
.
Em vez de resolver a equação de Schrödinger do zero, vamos usar as autofunções do oscilador harmônico completo, que já obedecem
.
Em vez de resolver a equação de Schrödinger do zero, vamos usar as autofunções
Passo 3
As autofunções conhecidas do oscilador livre têm a forma
onde
são os polinômios de Hermite e
.
Isso implica que
para par temos
,
enquanto para ímpar
.
Isso implica que
para
enquanto para
Passo 4
A exigência
elimina todas as soluções pares do oscilador livre. Portanto, os únicos estados permitidos são aqueles com índice
,
.
Passo 5
Os níveis de energia do oscilador harmônico livre são
Retendo apenas
obtemos
Definindo
para numerar de
em diante, fica