Sobre o oscilador harmônico quântico livre. Discutimos em sala de aula o importantíssimo modelo idealizado para uma partícula que está sob a ação de uma força restauradora e a amplitude do seu movimento é de dimensões atômicas. Usamos o método de operadores e encontramos que a função que descreve a localização da partícula é escrita como \psi_{n}(x)=\left(\frac{1}{\pi x_{0}^{2}}\right)^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}} H_{n}\left(\frac{x}{x_{0}}\right) e^{-\frac{x^{2}}{2 x_{0}^{2}}}, sendo H_{n}\left(\frac{x}{x_{0}}\right) os polinômios de Hermite, x_{0} o ponto do espaço onde ocorre o equilíbrio e x é a distância que a partícula se encontra de x_{0}. Aplicando o operador energia \widehat{H} no estado fundamental \psi_{0}(x), encontramos a energia deste estado, que foi escrita como E_{0}=\hbar \omega / 2. Aplicando o operador de excitação \hat{a}_{+} n vezes no estado fundamental \psi_{0}(x) encontramos a energia do n-ésimo estado como E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega. Podíamos ter encontrado o mesmo resultado E_{n} aplicando o operador energia \widehat{H} apenas uma vez no estado \psi_{n}(x). Mas isso seria uma operação matemática muito mais complicada. Esta questão pede que você encontre os níveis de energia de uma partícula de massa m dentro do mesmo potencial do oscilador harmônico, mas que está restrita a se mover apenas metade direita dele:
V(x)= \begin{cases}+\infty, & x \leq 0 \\\ \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}, & x>0\end{cases}
Mostre que as energias ficam alteradas e podem ser escritos como:
E_{n}=\left(2 n+\frac{3}{2}\right) \hbar \omega, \quad n=0,1,2,3, \ldots
Dicas: Não é necessário resolver a equação de Schrödinger para achar estas novas energias para este potencial. Observe as novas condições de contorno e explore a simetria das soluções que encontramos em sala de aula.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m sujeita ao potencial harmônico
V(x)=\frac12\,m\omega^2x^2
mas com barreira infinita em x\le0. Precisamos achar os níveis de energia desse “oscilador meio a meio” usando o fato de que conhecemos já as soluções do oscilador harmônico livre e explorando a simetria (paridade) das autofunções.

Passo 2

Como há barreira infinita em x\le0, a função de onda deve satisfazer as condições de contorno \psi(0)=0 e \psi(x\to+\infty)=0.
Em vez de resolver a equação de Schrödinger do zero, vamos usar as autofunções \psi_n(x) do oscilador harmônico completo, que já obedecem \psi(x\to\pm\infty)=0.

Passo 3

As autofunções conhecidas do oscilador livre têm a forma
\psi_n(x)\propto H_n\!\bigl(x/x_0\bigr)\,e^{-x^2/(2x_0^2)},
onde H_n são os polinômios de Hermite e \psi_n(-x)=(-1)^n\psi_n(x).
Isso implica que
para n par temos \psi_n(0)\neq0,
enquanto para n ímpar \psi_n(0)=0.

Passo 4

A exigência \psi(0)=0 elimina todas as soluções pares do oscilador livre. Portanto, os únicos estados permitidos são aqueles com índice n=2k+1, k=0,1,2,\dots.

Passo 5

Os níveis de energia do oscilador harmônico livre são
E_n=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega.
Retendo apenas n=2k+1 obtemos
E_{2k+1} =\Bigl(2k+1+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega =\Bigl(2k+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega.
Definindo n=k para numerar de 0 em diante, fica
E_n=\Bigl(2n+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega, \quad n=0,1,2,\dots

Resposta

E_n=\left(2n+\frac32\right)\hbar\omega,\quad n=0,1,2,3,\ldots

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