Um condutor cilíndrico tem raio de 7 mm , e seu eixo dista 25 mm de um plano condutor. O condutor está a um potencial de 2000 V e o plano está 0 V . Considerando o conjunto no vácuo, determine: (a) a capacitância por unidade de comprimento; (b) a carga por unidade de comprimento do cilindro; © o campo elétrico no ponto do cilindro situado mais próximo do plano.

Passo 1

Então, então… a questão diz que temos um fio condutor cilíndrico, raio , com o eixo a uma distância de um plano condutor. O fio está a e o plano a . Estamos em vácuo.
Conteúdo: eletrostática, mais precisamente método de imagens aplicado a um cilindro paralelo a um plano.
O que precisamos:
  • Entender como “trocar” o plano por uma carga imagem (método de imagens).
  • Saber que a capacitância por unidade de comprimento vem da relação , e que o potencial de um fio paralelo a um plano vira uma expressão com .
  • Depois usar pra achar .
  • Por fim usar superposição de campo (fio real + imagem) pra achar o campo na superfície mais próxima do plano.

Passo 2

Calcular a capacitância por unidade de comprimento V ;=;lambda2pi,varepsilon0,arccosh!gl(dagr), .
  1. Método de imagens: substituímos o plano (0 V) por uma linha de carga “imagem” de densidade C' ;=;lambdaV ;=;2pi,varepsilon0arccosh(d/a) , situada à mesma distância arccosh(3,571)approx1,946 Longrightarrow C' approx 2picdot8,854times10^-121,946 approx2,86times10^-11,F/m do plano, mas do outro lado.
  2. O potencial entre o fio real (denso ) e o plano (0 V) vale (em vácuo):
onde
.
3) Como , invertemos:
  1. Plugando números ( , ):

Passo 3

A carga por unidade de comprimento lambda ;=;(2,86times10^-11,F/m)times(2000 V) approx5,72times10^-8,C/m .
Simples: .

Passo 4

O campo elétrico no ponto do cilindro mais próximo do plano.
  1. Campo de uma linha de carga a distância Elinha(r)=lambda2pi,varepsilon0,r :
E =lambda2pivarepsilon0l(1a + 12d-ar)
  1. No ponto mais próximo do plano:
  • Distância à própria linha: lambda2pivarepsilon0 =5,72times10^-82picdot8,854times10^-12 approx1,03times10^3,V/m, .
  • Distância à imagem (densidade 1a + 12d-a =17times10^-3+143times10^-3 approx142,9+23,3=166,2 m^-1, ): Eapprox1,03times10^3times166,2 approx1,71times10^5,V/m .
  1. Como a imagem é carga negativa, seu campo nesse ponto aponta na mesma direção do campo do fio real (ambos “empurram” pra longe do eixo, i.e. em direção ao plano). Então os módulos somam:
  1. Numerando ( , ):

Resposta

(a)
(b)
©

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