Um condutor cilíndrico tem raio de 7 mm , e seu eixo dista 25 mm de um plano condutor. O condutor está a um potencial de 2000 V e o plano está 0 V . Considerando o conjunto no vácuo, determine: (a) a capacitância por unidade de comprimento; (b) a carga por unidade de comprimento do cilindro; © o campo elétrico no ponto do cilindro situado mais próximo do plano.
Passo 1
Então, então… a questão diz que temos um fio condutor cilíndrico, raio
, com o eixo a uma distância
de um plano condutor. O fio está a
e o plano a
. Estamos em vácuo.
Conteúdo: eletrostática, mais precisamente método de imagens aplicado a um cilindro paralelo a um plano.
O que precisamos:
Conteúdo: eletrostática, mais precisamente método de imagens aplicado a um cilindro paralelo a um plano.
O que precisamos:
- Entender como “trocar” o plano por uma carga imagem (método de imagens).
- Saber que a capacitância por unidade de comprimento
vem da relação , e que o potencial de um fio paralelo a um plano vira uma expressão com . - Depois usar
pra achar . - Por fim usar superposição de campo (fio real + imagem) pra achar o campo na superfície mais próxima do plano.
Passo 2
Calcular a capacitância por unidade de comprimento
.
- Método de imagens: substituímos o plano (0 V) por uma linha de carga “imagem” de densidade
, situada à mesma distância do plano, mas do outro lado. - O potencial entre o fio real (denso
) e o plano (0 V) vale (em vácuo):
onde
.
3) Como , invertemos:
3) Como
- Plugando números (
, ):
Passo 3
A carga por unidade de comprimento
.
Simples: .
Simples:
Passo 4
O campo elétrico no ponto do cilindro mais próximo do plano.
- Campo de uma linha de carga a distância
:
- No ponto mais próximo do plano:
- Distância à própria linha:
. - Distância à imagem (densidade
): .
- Como a imagem é carga negativa, seu campo nesse ponto aponta na mesma direção do campo do fio real (ambos “empurram” pra longe do eixo, i.e. em direção ao plano). Então os módulos somam:
- Numerando (
, ):
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©