A superfície de separação de dois dielétricos passa pela origem, e o vetor A=-2 ax+5 ay+14 az lhe é perpendicular neste ponto, apontando da região 1(epsilonR=1) para a região 2(epsilonR=2). Sendo E1=30 ax-15 ay+45 az V / m, determine o ângulo (agudo) entre A e: (a) E1;
D1 ; © E2 ; (d) D2.

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo da parada: temos uma superfície que separa dois dielétricos, o vetor normal a essa superfície no ponto é
vec A = -2,vec ax + 5,vec ay + 14,vec az
ele aponta de onde vec E1 = 30,vec ax ;-;15,vec ay ;+;45,vec az[V/m] (região 1) pra onde costheta = vec A!cdot!vec Elvertvec Arvert,lvertvec Ervert (região 2). Também sabemos
hat n = vec Alvertvec Arvert, vec En=(hat n!cdot!vec E),hat n, vec Et=vec E-vec En
O que a gente vai precisar:
  • A fórmula de produto escalar e norma pra achar ângulo
vec E1t=vec E2t, D1n=D2n, vec D=varepsilon0,varepsilonr,vec E
  • A decomposição do campo elétrico em componente normal e tangencial
  • As condições de contorno nos dielétricos (sem carga livre na interface):

Passo 2

(a) Ângulo entre vec A!cdot!vec E1 =(-2)cdot30 + 5cdot(-15) + 14cdot45 = -60 -75 +630 = 495 e lvertvec Arvert=raiz(-2)^2+5^2+14^2=raiz225=15, lvertvec E1rvert=raiz30^2+(-15)^2+45^2=raiz3150approx56.12 .
  1. Produto escalar
costhetaAE1 =49515cdot56.12approx0.5883 Longrightarrow thetaAE1approx54.0^circ
  1. Normas
thetaA D1 = thetaA E1approx54.0^circ
  1. Ângulo
(b) Como e , é paralelo a . Logo

Passo 3

Agora a gente acha hat n=vec Alvertvec Arvert =115l(-2,,5,,14r) usando as condições de contorno.
  1. Versor normal
E1n=(hat n!cdot!vec E1) =49515=33Longrightarrow vec E1n=33,hat n =l(-4.4,;11,;30.8r)
  1. Componente normal de vec E1t=vec E1-vec E1n =(30,-15,45)-(-4.4,11,30.8) =(34.4,,-26,;14.2)
varepsilon0,1,E1n=varepsilon0,2,E2n ;Longrightarrow; E2n=12,E1n=16.5 Longrightarrow vec E2n=16.5,hat n =l(-2.2,;5.5,;15.4r)
  1. Componente tangencial
vec E2=vec E2t+vec E2n =(34.4,-26,14.2)+(-2.2,5.5,15.4) =(32.2,,-20.5,;29.6)[V/m]
  1. Em região 2:
  • tangencial continua: .
  • normal satisfaz , ou seja
  1. Soma pra achar :

Passo 4

© Ângulo entre vec A!cdot!vec E2 =(-2),32.2 + 5,(-20.5) + 14,29.6 =247.5, e lvertvec E2rvert =raiz32.2^2+(-20.5)^2+29.6^2approx48.30, :
costhetaAE2 =247.515cdot48.30approx0.3416 Longrightarrow thetaAE2approx70.0^circ
thetaA D2 = thetaA E2approx70.0^circ
(d) é paralelo a , então

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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