Um condutor plano fino de grande comprimento tem uma densidade de corrente superficial uniforme K (corrente por unidade de largura), de modo que i_{\text {total }}=K w, onde w é a largura da tira.
(b) Obtenha o campo no limite d \ll w (plano infinito de corrente).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado nos dá uma tira condutora muito longa e de largura w com densidade de corrente superficial uniforme K (isto é, corrente por unidade de largura). A corrente total na tira é \,i_{\text{total}}=K w.
  • Pede para obter o campo magnético no limite d\ll w. Esse limite corresponde ao caso em que a distância d (do ponto onde se mede o campo até a tira) é muito menor que a largura da tira, de modo que localmente a tira se comporta como um plano infinito de corrente. Portanto devemos achar o campo magnético produzido por um plano infinito com densidade de corrente superficial K.
  • Informação útil que vou usar (peguei do enunciado): a densidade superficial de corrente é K (unidade: ampère por metro, \mathrm{A/m}).

Passo 2

Escolha de coordenadas, simetria física e objetivo preciso.
  • Coloco o plano de corrente no plano z=0 (o plano xy), e tomo a corrente fluindo na direção +\hat{x}. Assim a densidade superficial é \mathbf{K}=K\,\hat{x}.
  • Quero encontrar \mathbf{B}(\mathbf{r}) para pontos fora do plano, ou seja para z>0 e z<0.
  • Por simetria: o plano é infinito e uniforme, logo o módulo do campo só pode depender de z (distância perpendicular ao plano) e a direção do campo deve ser tangencial ao plano e perpendicular à direção da corrente. Para correntes na direção \hat{x} isso implica que \mathbf{B} aponta ao longo de \pm\hat{y}. Além disso, por simetria de reflexão em relação ao plano, os campos nos dois lados têm mesmo módulo e sentidos opostos.
Explicação didática da simetria (importante na prova):
  • Como o plano é infinito e uniforme, não existe nenhuma direção privilegiada no plano além da direção da corrente; deslocar-se paralelamente ao plano não altera nada. Então o campo não pode depender de x nem de y, só de z.
  • A componente normal ao plano ( B_z) seria trocada de sinal sob reflexão z\to -z sem que a fonte mudasse; como fonte é a mesma, e não há polo magnético, conclui-se B_z=0. A componente na direção da corrente ( B_x) também deve ser zero por simetria rotacional em torno de eixos paralelos à corrente. Resta apenas componente ao longo de \hat{y}.

Passo 3

A lei de Ampère e como aplicá-la: enunciado e significado das variáveis.
  • A lei integral de Ampère (no vácuo e em regime estacionário) diz
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0\approx4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}), e I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total que atravessa a superfície delimitada pela curva fechada \mathcal{C}.
  • Para um plano infinito de corrente a maneira standard e simples é escolher um laço amperiano retangular no plano yz (ou seja, com lados paralelos a \hat{y} e \hat{z}). Faço um retângulo de comprimento L ao longo de y e altura que atravessa o plano (de z=-a a z=+a). Esse laço intercepta o plano z=0 organizadamente e facilita o cálculo de I_{\text{enc}}.

Passo 4

Cálculo do integral de linha e da corrente encerrada.
  • No retângulo escolhido, os dois lados verticais (paralelos a \hat{z}) têm \mathbf{B} perpendicular ao elemento d\boldsymbol{\ell}, logo não contribuem para a integral.
  • Os dois lados horizontais (paralelos a \hat{y}) ficam a alturas z=+a e z=-a. Pelo argumento de simetria, o campo é constante nesses segmentos e dirigido ao longo de \hat{y} (mas com sinais possivelmente diferentes nos dois lados). Denoto o valor em cima por B_{+} (em z=+a) e em baixo por B_{-} (em z=-a). O comprimento de cada lado é L.
  • Tomando a orientação do contorno de forma que o segmento superior seja percorrido no sentido +\hat{y} e o inferior no sentido -\hat{y}, o integral de linha dá
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=B_{+}L - B_{-}L = (B_{+}-B_{-})L.
  • Agora a corrente encerrada I_{\text{enc}} é a corrente que atravessa a superfície limitada pelo laço. O plano em z=0 corta esse retângulo ao longo de uma linha de comprimento L (paralela ao eixo y); a corrente que passa por essa linha é a densidade superficial K multiplicada pelo comprimento L:
I_{\text{enc}}=K\,L.

Passo 5

Aplicar Ampère e usar simetria para obter o módulo do campo.
  • Substituindo na lei de Ampère:
(B_{+}-B_{-})L=\mu_0 K L \quad\Rightarrow\quad B_{+}-B_{-}=\mu_0 K.
  • Pela simetria de reflexão em torno do plano z=0 (o plano inverte o sentido do campo mas mantém o mesmo módulo), temos B_{-}=-B_{+}. Substituindo:
B_{+}-(-B_{+})=2B_{+}=\mu_0 K \quad\Rightarrow\quad B_{+}=\frac{\mu_0 K}{2}.
  • Portanto o módulo do campo em cada lado do plano é
\left| \mathbf{B}\right|=\frac{\mu_0 K}{2},
independente da distância a (isto é, independente de z). Isso mostra que, no caso do plano infinito, o campo não depende de quão longe do plano o ponto está — uma consequência direta da simetria e do fato de o plano ser infinito.
Explicação didática adicional sobre por que independe de z: aumentando a altura a do retângulo não muda a corrente encerrada e, por simetria, o contributo de segmentos verticais é nulo; logo o campo nos lados superior e inferior deve permanecer constante.

Passo 6

Direção do campo e regra prática para lembrar.
  • Com a escolha de \mathbf{K}=K\,\hat{x} feita no Passo 2, obtemos explicitamente
\mathbf{B}(z>0)=\frac{\mu_0 K}{2}\,\hat{y},\qquad \mathbf{B}(z<0)=-\frac{\mu_0 K}{2}\,\hat{y}.
  • Em palavras: em cima do plano ( z>0) o campo aponta ao longo de +\hat{y}; em baixo ( z<0) aponta na direção oposta. A orientação é a que se obtém aplicando a regra da mão direita à corrente superficial (polegar na direção da corrente, os dedos dão o sentido do campo ao redor).
  • Observação física: a magnitude é \dfrac{\mu_0 K}{2}, com K em \mathrm{A/m} e \mu_0 em \mathrm{H/m}, resultando B em tesla ( \mathrm{T}).

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar ideia).
  • Se K=4{,}0\\ \mathrm{A/m}, então
\left|\mathbf{B}\right|=\frac{\mu_0 K}{2}=\frac{4\pi\times10^{-7}\times4{,}0}{2}\\ \mathrm{T}=2\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\approx6{,}28\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
  • Isso mostra como usar a fórmula na prática — mas atenção: em qualquer questão de prova, explique a escolha do laço amperiano e o uso da simetria, pois é isso que justifica o resultado.

Resposta

\displaystyle \mathbf{B}(z)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{\mu_0 K}{2}\,\hat{y}, & z>0,\\[6pt] \displaystyle -\dfrac{\mu_0 K}{2}\,\hat{y}, & z<0, \end{cases}]

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