Um condutor plano fino de grande comprimento tem uma densidade de corrente superficial uniforme
(corrente por unidade de largura), de modo que
, onde
é a largura da tira.
(b) Obtenha o campo no limite
(plano infinito de corrente).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- O enunciado nos dá uma tira condutora muito longa e de largura
com densidade de corrente superficial uniforme (isto é, corrente por unidade de largura). A corrente total na tira é . - Pede para obter o campo magnético no limite
. Esse limite corresponde ao caso em que a distância (do ponto onde se mede o campo até a tira) é muito menor que a largura da tira, de modo que localmente a tira se comporta como um plano infinito de corrente. Portanto devemos achar o campo magnético produzido por um plano infinito com densidade de corrente superficial . - Informação útil que vou usar (peguei do enunciado): a densidade superficial de corrente é
(unidade: ampère por metro, ).
Passo 2
Escolha de coordenadas, simetria física e objetivo preciso.
- Coloco o plano de corrente no plano
(o plano ), e tomo a corrente fluindo na direção . Assim a densidade superficial é . - Quero encontrar
para pontos fora do plano, ou seja para e . - Por simetria: o plano é infinito e uniforme, logo o módulo do campo só pode depender de
(distância perpendicular ao plano) e a direção do campo deve ser tangencial ao plano e perpendicular à direção da corrente. Para correntes na direção isso implica que aponta ao longo de . Além disso, por simetria de reflexão em relação ao plano, os campos nos dois lados têm mesmo módulo e sentidos opostos.
Explicação didática da simetria (importante na prova):
- Como o plano é infinito e uniforme, não existe nenhuma direção privilegiada no plano além da direção da corrente; deslocar-se paralelamente ao plano não altera nada. Então o campo não pode depender de
nem de , só de . - A componente normal ao plano (
) seria trocada de sinal sob reflexão sem que a fonte mudasse; como fonte é a mesma, e não há polo magnético, conclui-se . A componente na direção da corrente ( ) também deve ser zero por simetria rotacional em torno de eixos paralelos à corrente. Resta apenas componente ao longo de .
Passo 3
A lei de Ampère e como aplicá-la: enunciado e significado das variáveis.
- A lei integral de Ampère (no vácuo e em regime estacionário) diz
onde
é a permeabilidade do vácuo (
), e
é a corrente elétrica total que atravessa a superfície delimitada pela curva fechada
.
- Para um plano infinito de corrente a maneira standard e simples é escolher um laço amperiano retangular no plano
(ou seja, com lados paralelos a e ). Faço um retângulo de comprimento ao longo de e altura que atravessa o plano (de a ). Esse laço intercepta o plano organizadamente e facilita o cálculo de .
Passo 4
Cálculo do integral de linha e da corrente encerrada.
- No retângulo escolhido, os dois lados verticais (paralelos a
) têm perpendicular ao elemento , logo não contribuem para a integral. - Os dois lados horizontais (paralelos a
) ficam a alturas e . Pelo argumento de simetria, o campo é constante nesses segmentos e dirigido ao longo de (mas com sinais possivelmente diferentes nos dois lados). Denoto o valor em cima por (em ) e em baixo por (em ). O comprimento de cada lado é . - Tomando a orientação do contorno de forma que o segmento superior seja percorrido no sentido
e o inferior no sentido , o integral de linha dá
- Agora a corrente encerrada
é a corrente que atravessa a superfície limitada pelo laço. O plano em corta esse retângulo ao longo de uma linha de comprimento (paralela ao eixo ); a corrente que passa por essa linha é a densidade superficial multiplicada pelo comprimento :
Passo 5
Aplicar Ampère e usar simetria para obter o módulo do campo.
- Substituindo na lei de Ampère:
- Pela simetria de reflexão em torno do plano
(o plano inverte o sentido do campo mas mantém o mesmo módulo), temos . Substituindo:
- Portanto o módulo do campo em cada lado do plano é
independente da distância
(isto é, independente de
). Isso mostra que, no caso do plano infinito, o campo não depende de quão longe do plano o ponto está — uma consequência direta da simetria e do fato de o plano ser infinito.
Explicação didática adicional sobre por que independe de
: aumentando a altura
do retângulo não muda a corrente encerrada e, por simetria, o contributo de segmentos verticais é nulo; logo o campo nos lados superior e inferior deve permanecer constante.
Passo 6
Direção do campo e regra prática para lembrar.
- Com a escolha de
feita no Passo 2, obtemos explicitamente
- Em palavras: em cima do plano (
) o campo aponta ao longo de ; em baixo ( ) aponta na direção oposta. A orientação é a que se obtém aplicando a regra da mão direita à corrente superficial (polegar na direção da corrente, os dedos dão o sentido do campo ao redor). - Observação física: a magnitude é
, com em e em , resultando em tesla ( ).
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar ideia).
- Se
, então
- Isso mostra como usar a fórmula na prática — mas atenção: em qualquer questão de prova, explique a escolha do laço amperiano e o uso da simetria, pois é isso que justifica o resultado.