1. Obtenha os circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton do circuito em relação aos terminais a-b. Qual é o valor da máxima transferência de potência à carga? ( \mathrm{VTh}=1,19 \mathrm{~V} ; \mathrm{RTh}=\mathrm{RN}=0,476 \mathrm{ohms} )

Passo 1

O enunciado pede: obter os circuitos equivalentes de Thévenin e de Norton vistos pelos terminais a b e calcular a potência máxima que pode ser transferida a uma carga conectada entre a e b.
Informações relevantes extraídas do enunciado/figura:
  • Há uma fonte ideal de tensão de 30\\ \text{V} ligada entre o nó esquerdo superior e o nó inferior (terminal b).
  • Em série com o terminal superior da fonte há um resistor de 12\\ \Omega que vai até o nó comum (o terminal a).
  • Do nó a até o terminal b há um resistor de 60\\ \Omega. A tensão sobre esse resistor é rotulada como V_x com o polo positivo no nó a e negativo em b.
  • Do nó a até b também existe uma fonte de corrente dependente, orientada para baixo (do nó a para b), cujo valor é 2 V_x.
  • Os terminais do circuito a considerar são a (nó superior direito) e b (nó inferior direito).
  • Objetos a encontrar: V_{Th} (tensão de circuito aberto entre a e b), R_{Th} (resistência de Thévenin vista entre a e b), o equivalente de Norton (corrente de Norton I_N e R_N) e a potência máxima transferida à carga.

Passo 2

Decisão do método (explicação didática e por que):
  • Quando há fontes dependentes presentes (aqui a fonte de corrente depende de V_x), não podemos simplesmente “desligar” todas as fontes para calcular R_{Th}. Por isso o método robusto é:
    1. Calcular V_{Th} como a tensão de circuito aberto entre a e b (ou seja, sem carga).
    2. Calcular a corrente de curto-circuito I_{sc} entre a e b (curtoando os terminais).
    3. Obter R_{Th} = \dfrac{V_{Th}}{I_{sc}}.
  • Esse procedimento funciona porque a relação entre V_{Th} e I_{sc} dá a resistência equivalente vista pelos terminais mesmo com fontes dependentes ativas.
  • Vou usar KCL (lei dos nós) no nó a. Lembrete curto sobre KCL: a soma algébrica das correntes que entram em um nó é zero; ao escrever correntes, é importante fixar sinais consistentes.

Passo 3

Cálculo de V_{Th} (tensão de circuito aberto).
  • Com os terminais abertos não há corrente externa; o nó a tem uma tensão que chamamos de V_a. Essa tensão é a mesma que V_{Th} e também é igual a V_x (pois V_x foi definido como a tensão no resistor de 60\\ \Omega entre a e b).
  • Identificando correntes no nó a:
    • Corrente pela resistência de 12\\ \Omega (do nó da fonte de 30\\ \text{V} para a): \dfrac{30 - V_a}{12}. (Aqui o nó do lado esquerdo da resistência é 30\\ \text{V} em relação a b.)
    • Corrente pelo resistor de 60\\ \Omega (do nó a para b): \dfrac{V_a}{60}.
    • Corrente da fonte de corrente dependente (do nó a para b): 2 V_x = 2 V_a (orientada para baixo).
  • Aplicando KCL no nó a: corrente que entra pelo ramo da esquerda = somatório das correntes que saem para baixo
\frac{30 - V_a}{12} \;=\; \frac{V_a}{60} + 2 V_a.
  • Resolver a equação passo a passo:
    • Primeiro simplificar o termo da direita:
    \frac{V_a}{60} + 2 V_a = \left(\frac{1}{60} + 2\right)V_a = \frac{1 + 120}{60}V_a = \frac{121}{60} V_a.
    • Igualando:
    \frac{30 - V_a}{12} = \frac{121}{60} V_a.
    • Multiplicando ambos os lados por 60 para eliminar denominadores:
    5(30 - V_a) = 121 V_a \quad\text{(pois }60/12 = 5\text{)}.
    • Desenvolvendo:
    150 - 5 V_a = 121 V_a.
    • Somando 5V_a aos dois lados:
    150 = 126 V_a.
    • Portanto
    V_a = \frac{150}{126} = \frac{25}{21}\\ \text{V} \approx 1{,}190476\\ \text{V}.
  • Conclusão: \;V_{Th} = V_a = \dfrac{25}{21}\\ \text{V} \approx 1{,}19\\ \text{V}.

Passo 4

Cálculo da corrente de curto-circuito I_{sc} (que será a corrente de Norton).
  • Agora curto-circuitamos a em b. Isso faz com que a tensão V_x sobre o resistor de 60\\ \Omega seja zero ( V_x=0), logo a fonte de corrente dependente vale 2V_x = 0 e não contribui.
  • Com a diretamente conectado a b, o único caminho de corrente é da fonte de 30\\ \text{V} através do resistor de 12\\ \Omega direto ao curto. A corrente do curto (do nó a para b, orientada para baixo) é
I_{sc} = \frac{30 - 0}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}\\ \text{A} = 2{,}5\\ \text{A}.
  • Assim a corrente de Norton (do nó a para b, sentido para baixo) é I_N = I_{sc} = 2{,}5\\ \text{A}.

Passo 5

Cálculo de R_{Th} usando R_{Th} = \dfrac{V_{Th}}{I_{sc}}.
  • Temos \;V_{Th}=\dfrac{25}{21}\\ \text{V} e \;I_{sc}=\dfrac{5}{2}\\ \text{A}.
R_{Th}=\frac{V_{Th}}{I_{sc}}=\frac{\tfrac{25}{21}}{\tfrac{5}{2}}=\frac{25}{21}\cdot\frac{2}{5}=\frac{50}{105}=\frac{10}{21}\\ \Omega \approx 0{,}476190\\ \Omega.
  • Observação didática: se não houver fontes dependentes, uma alternativa seria “desligar” as fontes independentes e calcular resistência equivalente diretamente; com fontes dependentes isso não é possível, por isso usamos V_{Th}/I_{sc} ou aplicamos uma fonte de teste.

Passo 6

Escrever os equivalentes de Thévenin e Norton (com orientações e valores).
  • Thévenin: fonte de tensão V_{Th} = \dfrac{25}{21}\\ \text{V} (positivo no terminal a em relação a b) em série com R_{Th}=\dfrac{10}{21}\\ \Omega.
  • Norton: fonte de corrente I_N = \dfrac{5}{2}\\ \text{A} (do terminal a para b, isto é, orientada para baixo) em paralelo com R_N = \dfrac{10}{21}\\ \Omega.
  • Observação prática: numericamente V_{Th}\approx 1{,}19\\ \text{V} e R_{Th}=R_N\approx 0{,}476\\ \Omega, I_N=2{,}5\\ \text{A}.

Passo 7

Máxima transferência de potência (explicação e cálculo).
  • Teorema da máxima transferência de potência: para uma carga resistiva R_L conectada aos terminais, a potência dissipada em R_L é máxima quando R_L = R_{Th} (assumindo R_L real e fonte de Thévenin com R_{Th} real).
  • Assim o valor de R_L que maximiza a potência é
R_L^{\text{(óptimo)}} = R_{Th} = \frac{10}{21}\\ \Omega \approx 0{,}476\\ \Omega.ó
  • A potência máxima entregue à carga, usando a fórmula padrão P_{\max} = \dfrac{V_{Th}^2}{4 R_{Th}}, dá:
    • Usando frações exatas:
    P_{\max} = \frac{\left(\dfrac{25}{21}\right)^2}{4\cdot \dfrac{10}{21}} = \frac{625}{441}\cdot\frac{21}{40} = \frac{625}{840} = \frac{125}{168}\\ \text{W}.
    • Em valor decimal:
    P_{\max} = \frac{125}{168}\\ \text{W} \approx 0{,}74405\\ \text{W}.

Resposta

V_{Th}=\dfrac{25}{21}\\ \text{V}\approx1{,}19\\ \text{V}
R_{Th}=R_{N}=\dfrac{10}{21}\\ \Omega\approx0{,}476\\ \Omega
I_{N}=I_{sc}=\dfrac{5}{2}\\ \text{A}=2{,}5\\ \text{A} (corrente do terminal a para b)
R_{L,\text{óptimo}}=R_{Th}=\dfrac{10}{21}\\ \Omega\approx0{,}476\\ \Omegaó
P_{\max}=\dfrac{125}{168}\\ \text{W}\approx0{,}744\\ \text{W}

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