Dois fios paralelos longos e retos estão separados por uma distância 2 a e carregam correntes iguais i em direções opostas. Encontre o campo magnético resultanta-
(D) em um ponto a uma distância a de um deles, nc plano dos fios, fora da região entre eles.

Passo 1

O enunciado dá duas linhas longas e paralelas, separadas por uma distância 2a, cada uma carregando corrente de módulo i em sentidos opostos. Pede-se o campo magnético resultante em um ponto que está no mesmo plano dos fios, a uma distância a de um deles e fora da região entre os fios.
Para trabalhar com calma, escolho um sistema de coordenadas simples (isso não altera o resultado, só facilita a visualização):
  • Coloco os fios ao longo do eixo z (são infinitos nessa direção).
  • Posiciono o fio da esquerda em x=-a e o fio da direita em x=+a. Assim a distância entre eles é 2a, conforme o enunciado.
  • Tomarei o ponto P pedido como estando no eixo x à direita do fio da direita, a uma distância a desse fio; portanto suas coordenadas no plano são x=+2a,\; y=0. (Se alguém preferir o ponto do lado esquerdo, o módulo do campo é o mesmo, só muda o sentido.)
Também vou assumir explicitamente sentidos das correntes (sentidos opostos):
  • Fio em x=-a: corrente de módulo i no sentido +z.
  • Fio em x=+a: corrente de módulo i no sentido -z.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (campo de um fio longo e retilíneo):
B=\frac{\mu_0\,i}{2\pi r},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo,
  • i é a corrente no fio,
  • r é a distância perpendicular do fio até o ponto onde se avalia o campo.
    Essa fórmula vem do resultado do Biot–Savart ou da lei de Ampère para um fio infinito: o campo tem módulo dado acima e direção tangencial às circunferências centradas no fio (sentido dado pela regra da mão direita).

Passo 3

Calcular as distâncias do ponto P a cada fio (peguei as posições dos fios e do ponto conforme defini no Passo 1):
  • Distância de P ao fio da esquerda ( x=-a): r_1 = (+2a) - (-a) = 3a.
  • Distância de P ao fio da direita ( x=+a): r_2 = (+2a) - (+a) = a.

Passo 4

Calcular os módulos dos campos produzidos por cada fio em P usando \;B=\dfrac{\mu_0 i}{2\pi r}\;:
  • Campo produzido pelo fio da esquerda:
B_1=\frac{\mu_0 i}{2\pi r_1}=\frac{\mu_0 i}{2\pi (3a)}=\frac{\mu_0 i}{6\pi a}.
  • Campo produzido pelo fio da direita:
B_2=\frac{\mu_0 i}{2\pi r_2}=\frac{\mu_0 i}{2\pi a}.
Agora as direções (uso a regra da mão direita):
  • Para o fio da esquerda (corrente em +z), no ponto P (à direita do fio) o campo aponta no sentido positivo de \hat{y}. Logo \vec{B}_1=+B_1\,\hat{y}.
  • Para o fio da direita (corrente em -z), no ponto P (à direita desse fio) o campo aponta no sentido negativo de \hat{y}. Logo \vec{B}_2=-B_2\,\hat{y}.

Passo 5

Somar vetorialmente os campos (só há componente na direção \hat{y}):
\vec{B}_{\text{total}}=\vec{B}_1+\vec{B}_2 = B_1\,\hat{y}-B_2\,\hat{y}=(B_1-B_2)\,\hat{y}.
Substituindo B_1 e B_2:
B_1-B_2=\frac{\mu_0 i}{6\pi a}-\frac{\mu_0 i}{2\pi a} =\frac{\mu_0 i}{2\pi a}\!\left(\frac{1}{3}-1\right) =\frac{\mu_0 i}{2\pi a}\left(-\frac{2}{3}\right) =-\frac{\mu_0 i}{3\pi a}.
Portanto
\vec{B}_{\text{total}}=-\frac{\mu_0 i}{3\pi a}\,\hat{y}.
Isto quer dizer que o campo tem módulo \dfrac{\mu_0 i}{3\pi a} e aponta no sentido negativo de \hat{y} (ou seja, “para baixo” no nosso esquema).

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o campo resultante não é zero porque, embora as correntes tenham módulos iguais e sentidos opostos, as distâncias até o ponto são diferentes ( 3a e a), então os módulos dos campos não se cancelam. Se o ponto estivesse exatamente entre os fios (por exemplo no x=0), os campos teriam mesmo módulo e se cancelariam (quando correntes são opostas).
Força extra de ânimo: esse tipo de problema sempre se resolve com a fórmula do fio infinito e atenção cuidadosa às distâncias e à direção pelo regra da mão direita — respira, faz devagar e dá certo!

Resposta

-\dfrac{\mu_0\,i}{3\pi a}\,\hat{y}

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