Dois fios paralelos longos e retos estão separados por uma distância 2 a e carregam correntes iguais i em direções opostas. Encontre o campo magnético resultanta-
(a) no ponto médio entre os dois fios

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois fios longos e retos, paralelos entre si, separados por uma distância 2a.
  • Cada fio carrega uma corrente de módulo i, nos sentidos opostos.
    O que se pede:
  • Encontrar o campo magnético resultante no ponto médio entre os dois fios.

Passo 2

Vamos escolher um sistema de coordenadas simples para trabalhar (isso facilita visualizar direções). Coloco os dois fios ao longo do eixo z (ou seja, fios verticais), em:
  • fio 1 em x=-a com corrente no sentido +z;
  • fio 2 em x=+a com corrente no sentido -z.
    O ponto médio entre eles fica em x=0,\;y=0 (distância a de cada fio). Vou chamar esse ponto de P.

Passo 3

Fórmula útil (resultado padrão para fio longo e reto): o módulo do campo magnético a uma distância r de um fio infinito que carrega corrente i é dado por
B(r)=\frac{\mu_0\,i}{2\pi r},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Explicando rápido de onde vem essa fórmula (para você entender e saber aplicar na prova):
  • Usa-se a Lei de Ampère: \displaystyle \oint \vec B\cdot d\vec \ell=\mu_0 I_{\text{enc}}.
  • Para um fio infinito escolhe-se um caminho circular de raio r centrado no fio; \vec B é tangencial e constante ao longo desse círculo, então \oint \vec B\cdot d\vec \ell = B(2\pi r).
  • Substituindo na Lei de Ampère: B(2\pi r)=\mu_0 i, daí B=\dfrac{\mu_0 i}{2\pi r}.
    Aqui: \mu_0 é constante conhecida, i é a corrente do fio, e r é a distância do fio ao ponto considerado.

Passo 4

Aplicando ao nosso ponto P: cada fio está a uma distância r=a de P. Então o módulo do campo produzido por cada fio em P é
B_1=B_2=\frac{\mu_0\,i}{2\pi a}.

Passo 5

Agora as direções: usar a regra da mão direita (ou pensar na direção \hat\varphi em coordenadas cilíndricas em torno de cada fio).
  • Para o fio em x=-a com corrente em +z: no ponto P (que está à direita do fio) a regra da mão direita dá campo na direção -\hat y.
  • Para o fio em x=+a com corrente em -z: se a corrente estivesse em +z o campo em P seria +\hat y, mas como a corrente é oposta ( -z) o campo inverte e também aponta em -\hat y.
    Portanto os campos produzidos pelos dois fios em P têm o mesmo sentido (ambos em -\hat y) e somam-se algebraicamente.

Passo 6

Somando os módulos (mesma direção):
B_{\text{total}}=B_1+B_2=2\cdot\frac{\mu_0\,i}{2\pi a}=\frac{\mu_0\,i}{\pi a}.
Em forma vetorial, tomando -\hat y como direção encontrada:
\vec B_{\text{total}} = -\hat y\;\frac{\mu_0\,i}{\pi a}.

Resposta

\displaystyle \vec B_{\text{total}} = -\hat y\;\frac{\mu_0\,i}{\pi a}

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