Um condutor possui forma de um cilindro oco, sendo a o raio interno e b o raio externo. Ele conduz uma corrente I uniformemente distribuída ao longo da sua seção reta. Mostre que, para pontos dentro da massa do condutor, isto é, para a<r<b, o campo magnético B tem módulo dado por B=(mu0 I / 2 pi r)(r^2-a^2) /(b^2-a^2).

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico oco, de raio interno a e externo b, que transporta uma corrente total I uniformemente distribuída em sua seção transversal. Queremos achar o módulo do campo magnético B para pontos que estejam dentro da massa do condutor, isto é para a<r<b. O método que vamos usar é a simetria cilíndrica aliada à Lei de Ampère.

Passo 2

Como a corrente está uniformemente distribuída na seção anelar entre r=a e r=b, a densidade de corrente (por área) é constante e vale
J ;=;Iárea da seção ;=;Ipil(b^2 - a^2r) áçã

Passo 3

Para um círculo de raio r (com a<r<b), a corrente encerrada é a densidade J vezes a área do anel interno de raio a até r:
Irm enc = J;times;pil(r^2 - a^2r) = Ipil(b^2 - a^2r);pil(r^2 - a^2r) = I,r^2 - a^2b^2 - a^2

Passo 4

Por simetria cilíndrica o campo B é tangencial e de módulo constante sobre um círculo de raio r. A Lei de Ampère diz
oint Bcdot dell ;=;mu0,Irm enc
Como B é tangencial, oint Bcdot dell=B,(2pi r). Portanto
B,(2pi r) =mu0,I,r^2 - a^2b^2 - a^2 Longrightarrow B =mu0,I2pi r,r^2 - a^2b^2 - a^2

Resposta

B(r)=mu0,I2pi r,r^2-a^2b^2-a^2, a<r<b

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