Um disco de raio R, com uma densidade de carga uniforme sigma, está girando com velocidade angular constante omega. (a) Considere um anel circular de raio r e largura d r, que contém uma carga d q. Mostre que a corrente produzida por este anel é dada por d I=omega sigma r d r. (b) Use o resultado do item (a) para mostrar que o campo magnético no centro do disco é dado por B=mu0 omega sigma R / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá um disco de raio carregado com densidade superficial de carga uniforme , girando com velocidade angular constante . Precisamos (a) dividir o disco em anéis de raio e largura , calcular a corrente que cada anel transporta; (b) usar o resultado de (a) e a lei de Biot–Savart para somar o campo magnético produzido por cada anel no centro do disco.

Passo 2

Cada anel de raio e largura tem área
e, como a densidade de carga superficial é , a carga desse anel é
Como o anel gira com velocidade angular , ele completa uma volta em período
Logo, a corrente associada à carga que passa por um ponto fixo no plano do disco é

Passo 3

Agora usamos a lei de Biot–Savart para o campo no centro de um anel de corrente. Para um anel de raio que transporta corrente , o campo no seu centro tem módulo
Substituindo , o campo produzido pelo anel diferencial no centro é
Note que é independente de .

Passo 4

Para obter o campo total no centro do disco, integramos de até :

Resposta

O campo magnético no centro do disco é
B = mu0,omega,sigma,R2

Exercícios relacionados