Um condutor tubular oco é construído a partir de um tipo de latão que tem condutividade de 1,2 times 10^7 S / m. Os raios interno e externo são 9 e 10 mm , respectivamente. Calcule a resistência por metro de comprimento nas seguintes frequências:
(b) 20 MHz ;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um condutor tubular feito de latão, com condutividade de 1,2 times 10^7 S/m. Os raios interno e externo do tubo são 9 mm e 10 mm, respectivamente. Nossa missão é calcular a resistência por metro de comprimento desse condutor quando uma frequência de 20 MHz está sendo aplicada. Para isso, vamos precisar entender sobre resistência elétrica, efeito de pele e como isso influencia a resistência em altas frequências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é resistência elétrica. Resistência é a propriedade que um material tem de dificultar a passagem da corrente elétrica. Quanto maior a resistência, mais difícil é para a corrente passar. A fórmula básica para resistência ( R) é:
R = rho LA
Onde:
  • rho é a resistividade do material,
  • L é o comprimento,
  • A é a área da seção transversal.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o efeito de pele. Em altas frequências, como 20 MHz, a corrente elétrica tende a fluir apenas nas regiões próximas à superfície do condutor. Isso reduz efetivamente a área pela qual a corrente passa, aumentando a resistência. A profundidade de pele ( de) nos diz quão profundo a corrente penetra no condutor e é dada por:
de
Onde:
  • omega = 2pi f é a frequência angular,
  • f é a frequência (20 MHz neste caso),
  • mu é a permeabilidade magnética do material.

Passo 4

Vamos calcular a profundidade de pele ( de). Primeiro, precisamos da resistividade ( rho). Sabemos que a condutividade ( sigma) é 1,2 times 10^7 S/m, e rho = 1sigma:
rho = 11,2 times 10^7 approx 8,33 times 10^-8 Omega cdot m
Agora, a permeabilidade magnética do latão é aproximadamente a da permeabilidade do vácuo ( mu0 = 4pi times 10^-7 H/m), já que o latão é um material não magnético.
omega = 2pi times 20 times 10^6 approx 1,2566 times 10^8 rad/s
Então,
de
Simplificando:
de

Passo 5

Com a profundidade de pele conhecida, podemos calcular a área efetiva ( Aef) pela qual a corrente passa. Como o condutor é tubular, a área da superfície interna é:
A = 2pi r L
Mas considerando apenas a profundidade de pele:
Aef = 2pi r de
Onde r é o raio interno (9 mm). Assim,
Aef = 2pi times 0,009 m times 0,001026 m approx 5,81 times 10^-5 m^2/m

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula da resistência com a área efetiva:
R = rho 1Aef = 8,33 times 10^-8 Omega cdot m div 5,81 times 10^-5 m^2/m approx 1,43 times 10^-3 Omega/m

Resposta

A resistência por metro de comprimento do condutor tubular a 20 MHz é aproximadamente 1,43 times 10^-3 Ω/m.

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