(Condutores - resistência em CA)
Um cabo de cobre 300 \mathrm{~mm}^{2}, em canaleta, opera com I_{c}=300 \mathrm{~A} por 120 m . A resistência em corrente contínua a 90^{\circ} \mathrm{C} é R_{c c}=0,078 \mathrm{~m} \Omega / \mathrm{m}. Considere fatores Y_{s}=0,06 (efeito pelicular) e Y_{p}=0,03 (proximidade).
(a) Determine R_{p}=R_{c c}\left(1+Y_{s}+Y_{p}\right).
(b) Estime as perdas Joule totais P_{c} \approx 3 R_{p} I_{c}^{2} L (sistema trifásico).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a resistência por metro em corrente alternada considerando efeito de pele e proximidade, usando a fórmula \displaystyle R_{p}=R_{c c}\bigl(1+Y_{s}+Y_{p}\bigr).
  • (b) Estimar as perdas Joule totais no sistema trifásico usando \displaystyle P_{c}\approx 3\,R_{p}\,I_{c}^{2}\,L.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Seção do cabo: }300\\ \mathrm{mm}^{2}\quad(\text{informação de geometria, aqui não necessária para contas}),\\[4pt] &\text{Corrente nominal: }I_{c}=300\\ \mathrm{A},\\[4pt] &\text{Comprimento do cabo: }L=120\\ \mathrm{m},\\[4pt] &\text{Resistência em CC a }90^\circ\mathrm{C}:\;R_{c c}=0,078\\ \mathrm{m}\Omega/\mathrm{m},\\[4pt] &\text{Fator de efeito de pele: }Y_{s}=0,06,\\[4pt] &\text{Fator de proximidade: }Y_{p}=0,03. \end{aligned}çãçããáê]

Passo 2

Breve explicação do que representam as fórmulas (para você entender na prova):
  • \displaystyle R_{c c} é a resistência por metro em corrente contínua (ou baixa frequência sem efeitos de pele). Está dada em \mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}.
  • Efeitos em corrente alternada (CA): o efeito de pele e o efeito de proximidade aumentam a resistência efetiva do condutor. Os fatores Y_{s} e Y_{p} são números adimensionais que representam, respectivamente, a fração de aumento da resistência devido a cada efeito.
  • Assim, a resistência efetiva em CA por metro é obtida multiplicando R_{c c} por 1+Y_{s}+Y_{p}:
\displaystyle R_{p}=R_{c c}\bigl(1+Y_{s}+Y_{p}\bigr).
  • As perdas Joule em um sistema trifásico com condutores balanceados (cada fase transportando I_{c}) podem ser estimadas por:
\displaystyle P_{c}\approx 3\,R_{p}\,I_{c}^{2}\,L,
onde R_{p} é a resistência por metro em \Omega/\mathrm{m}, I_{c} é em amperes e L em metros; o fator 3 vem das três fases (cada fase dissipa I^{2}R no seu condutor).

Passo 3

Converter R_{c c} de \mathrm{m}\Omega/\mathrm{m} para \Omega/\mathrm{m} (sempre faça isso antes de multiplicar):
\displaystyle R_{c c}=0,078\\ \mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}=0,078\times10^{-3}\\ \Omega/\mathrm{m}.
Calcule numericamente:
\displaystyle R_{c c}=0,078\times10^{-3}\\ \Omega/\mathrm{m}=7,8\times10^{-5}\\ \Omega/\mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o fator total de aumento da resistência:
\displaystyle 1+Y_{s}+Y_{p}=1+0,06+0,03=1,09.

Passo 5

Agora calcule \displaystyle R_{p}=R_{c c}\bigl(1+Y_{s}+Y_{p}\bigr). Substituindo os valores:
\displaystyle R_{p}=7,8\times10^{-5}\\ \Omega/\mathrm{m}\times1,09.
Faça a multiplicação:
\displaystyle R_{p}=8,502\times10^{-5}\\ \Omega/\mathrm{m}.
Se preferir a mesma unidade que o enunciado ( \mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}):
\displaystyle R_{p}=0,08502\\ \mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}.
(Resumo: converta unidades, multiplique pelo fator 1,09 e reescreva na unidade desejada.)

Passo 6

Explicar os próximos passos para perdas: vamos calcular a resistência total de uma fase (comprimento L) e então a potência dissipada por fase e total.
  • Resistência de uma fase (ida e volta? Aqui consideramos só o condutor da fase; a fórmula pedida usa 3R_{p}I^{2}L, então usamos resistência por fase R_{p}L.)
  • Potência por fase: P_{\text{fase}}=I_{c}^{2}\,R_{p}\,L.
  • Potência total trifásica aproximada: P_{c}\approx 3\,I_{c}^{2}\,R_{p}\,L.

Passo 7

Calcular I_{c}^{2}:
\displaystyle I_{c}^{2}=(300\\ \mathrm{A})^{2}=90\,000\\ \mathrm{A}^{2}.

Passo 8

Calcular a resistência total por fase (comprimento L=120\\ \mathrm{m}):
\displaystyle R_{\text{fase}}=R_{p}\,L=8,502\times10^{-5}\\ \Omega/\mathrm{m}\times120\\ \mathrm{m}.
Multiplicando:
\displaystyle R_{\text{fase}}=0,0102024\\ \Omega.

Passo 9

Calcular a potência dissipada por fase:
\displaystyle P_{\text{fase}}=I_{c}^{2}\,R_{\text{fase}}=90\,000\times0,0102024\\ \mathrm{W}.
Fazendo a conta:
\displaystyle P_{\text{fase}}=918,216\\ \mathrm{W}.

Passo 10

Calcular a potência total trifásica aproximada:
\displaystyle P_{c}\approx 3\times P_{\text{fase}}=3\times918,216\\ \mathrm{W}=2\,754,648\\ \mathrm{W}.
Arredondando para apresentação prática:
\displaystyle P_{c}\approx2,755\\ \mathrm{kW}.

Resposta

\displaystyle R_{p}=0,08502\\ \mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}=8,502\times10^{-5}\\ \Omega/\mathrm{m}
\displaystyle P_{c}\approx2\,754,65\\ \mathrm{W}

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