Um cone equilátero possui área lateral que mede 16 \sqrt{5} \pi \mathrm{dm}^{2}. A medida da altura desse cone é:
A) 1 dm
B) 2 dm
C) 4 dm
D) 8 dm
E) 16 dm

Passo 1

O enunciado dá um cone equilátero com área lateral A_L=16\sqrt{5}\,\pi (em \mathrm{dm}^2) e pede a altura h. Em um cone reto “equilátero” entende-se que, ao desenharmos o triângulo axial, ele é isósceles com lados iguais à geratriz l e base 2r e ainda forma um triângulo equilátero. Logo
l=2r
e a área lateral é dada por
A_L=\pi\,r\,l.

Passo 2

Usando l=2r na fórmula da área lateral,
A_L=\pi\,r\,(2r)=2\pi\,r^2.
Como A_L=16\sqrt{5}\,\pi, temos
2\pi\,r^2=16\sqrt{5}\,\pi \quad\Longrightarrow\quad r^2=8\sqrt{5}.

Passo 3

A altura h vem de
h=\sqrt{l^2-r^2} \quad\text{com}\quad l=2r.
Então
h =\sqrt{(2r)^2-r^2} =\sqrt{4r^2-r^2} =\sqrt{3r^2} =r\sqrt{3}.

Passo 4

Substituindo r^2=8\sqrt{5} em h=r\sqrt{3}, obtemos
h =\sqrt{r^2}\,\sqrt{3} =\sqrt{8\sqrt{5}}\;\sqrt{3} =\sqrt{24\sqrt{5}}.
Numericamente, \sqrt{24\sqrt{5}}\approx7{,}32.

Passo 5

Entre as opções dadas, o valor que mais se aproxima de 7{,}32 é 8.

Resposta

8 dm

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