Um reservatório em forma de cone equilátero possui na base um círculo de 3 m de raio. Determine o volume desse reservatório.

Passo 1

O enunciado fala de um reservatório em forma de cone equilátero, isto é, um cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base. A base é um círculo de raio r=3 m. O volume de um cone reto é dado por
V = \tfrac13 \,\pi\,r^2\,h,
portanto precisamos encontrar a altura h.

Passo 2

Como o cone é equilátero, a geratriz l satisfaz
l = \text{diâmetro da base} = 2r = 2\cdot 3 = 6\text{ m}.â

Passo 3

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado por r, h e l, temos
h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\text{ m}.

Passo 4

Substituindo r e h na fórmula do volume,
V = \tfrac13 \,\pi\,(3)^2\,(3\sqrt{3}) = \tfrac13 \,\pi\cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}\text{ m}^3.

Resposta

O volume do reservatório é 9\pi\sqrt{3}\,\mathrm{m}^3.

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