Um cone de revolução é construído a partir de um setor circular de área 80 \pi \mathrm{~cm}^{2} cuja base tem diâmetro 16 cm . 0 volume desse cone, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{3}, é:
A) 256 \pi
B) 128 \pi
C) 64 \pi
D) 32 \pi
E) 16 \pi

Passo 1

O enunciado diz que um cone é formado a partir de um setor circular de área 80\pi c m^{2} e que a base do cone terá diâmetro 16 cm. O tema é geometria de sólidos: vamos usar a fórmula da área de um setor circular, a correspondência entre o arco do setor e a circunferência da base do cone, e a fórmula do volume de um cone.

Passo 2

Seja R o raio do setor e \theta seu ângulo em radianos.
A área do setor é
\tfrac12\,R^{2}\,\theta = 80\pi.
O comprimento do arco é R\,\theta,
que, ao formar o cone, vira a circunferência da base 2\pi r. Como o diâmetro da base é 16 cm, temos r=8 cm e
R\,\theta = 2\pi\,r = 16\pi.

Passo 3

Da segunda equação isolamos \theta:
\theta = \frac{16\pi}{R}.
Substituindo na área do setor:
\tfrac12\,R^{2}\,\frac{16\pi}{R} = 80\pi \;\Longrightarrow\; 8\,R\,\pi = 80\pi \;\Longrightarrow\; R = 10\text{ cm}.
Logo a geratriz do cone é l=R=10 cm.

Passo 4

A altura h do cone vem de
h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = \sqrt{100 - 64} = 6\text{ cm}.

Passo 5

O volume do cone é
V = \tfrac13\,\pi\,r^{2}\,h = \tfrac13\,\pi\cdot 8^{2}\cdot 6 = 128\pi\text{ cm}^{3}.

Resposta

B) 128\pi

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