Confirme ser aplicável o Teste da Integral e use-o para determinar se a série converge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n+2}

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5n+2}
e pede para confirmarmos a aplicabilidade do Teste da Integral e, em seguida, determinar se a série converge. O que precisamos é definir a função contínua, positiva e decrescente que coincide com os termos da série e calcular a integral imprópria correspondente.

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{1}{5x+2},
para x\ge1. Vamos ver se f satisfaz as hipóteses do Teste da Integral:
  1. Positividade: como 5x+2>0 em x\ge1, temos f(x)>0.
  2. Continuidade: 5x+2 nunca se anula em [1,\infty), logo f é contínua ali.
  3. Monotonicidade:
f'(x) = -\frac{5}{(5x+2)^2} < 0
para todo x\ge1. Portanto f é decrescente em [1,\infty).

Passo 3

Pelo Teste da Integral, investigamos
\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{5x+2}.
Fazendo a substituição direta ou sabendo a primitiva de 1/(5x+2), obtemos
\int \frac{dx}{5x+2} = \frac{1}{5}\ln\bigl(5x+2\bigr).
Assim
\int_{1}^{t}\frac{dx}{5x+2} = \frac{1}{5}\Bigl[\ln\bigl(5t+2\bigr)-\ln\bigl(5\cdot1+2\bigr)\Bigr] = \frac{1}{5}\ln\!\bigl(5t+2\bigr)-\frac{1}{5}\ln(7).
Quando t\to\infty, \ln(5t+2)\to\infty, logo a integral diverge para infinito.

Passo 4

Como a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{5x+2}
é divergente, o Teste da Integral nos diz que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5n+2}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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