Confirme ser aplicável o Teste da Integral e use-o para determinar se a série converge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para confirmarmos a aplicabilidade do Teste da Integral e, em seguida, determinar se a série converge. O que precisamos é definir a função contínua, positiva e decrescente que coincide com os termos da série e calcular a integral imprópria correspondente.
e pede para confirmarmos a aplicabilidade do Teste da Integral e, em seguida, determinar se a série converge. O que precisamos é definir a função contínua, positiva e decrescente que coincide com os termos da série e calcular a integral imprópria correspondente.
Passo 2
Definimos
para
. Vamos ver se
satisfaz as hipóteses do Teste da Integral:
- Positividade: como
em , temos . - Continuidade:
nunca se anula em , logo é contínua ali. - Monotonicidade:
para todo
. Portanto
é decrescente em
.
Passo 3
Pelo Teste da Integral, investigamos
Fazendo a substituição direta ou sabendo a primitiva de
, obtemos
Assim
Quando
,
, logo a integral diverge para infinito.
Passo 4
Como a integral imprópria
é divergente, o Teste da Integral nos diz que a série
também diverge.
é divergente, o Teste da Integral nos diz que a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.