Use o teste da comparação no limite para determinar se a série converge.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4 k^{2}-2 k+6}{8 k^{7}+k-8}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{4k^{2}-2k+6}{8k^{7}+k-8}
usando o teste da comparação no limite. O conteúdo necessário é o teste da comparação no limite e o fato de que a série \sum 1/k^{p} converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Escolhemos como série comparadora
b_{k}=\frac{1}{k^{5}},
pois para grandes k temos
\frac{4k^{2}-2k+6}{8k^{7}+k-8}\sim \frac{4k^{2}}{8k^{7}}=\frac{1}{2}\,k^{-5}.
E sabemos que \sum b_{k}=\sum 1/k^{5} é uma série p- com p=5>1, logo converge.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação no limite, calculando
L = \lim_{k\to\infty}\frac{a_{k}}{b_{k}} \quad\text{onde}\quad a_{k}=\frac{4k^{2}-2k+6}{8k^{7}+k-8} \quad\text{e}\quad b_{k}=\frac{1}{k^{5}}.
Temos
\frac{a_{k}}{b_{k}} = \frac{\bigl(4k^{2}-2k+6\bigr)\,k^{5}}{8k^{7}+k-8} = \frac{4k^{7}-2k^{6}+6k^{5}}{8k^{7}+k-8}
e, ao fazer k\to\infty, os termos de maior grau dominam, dando
L = \lim_{k\to\infty}\frac{4k^{7}}{8k^{7}} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Como 0< L<\infty e \sum b_{k} converge, pelo teste da comparação no limite a série \sum a_{k} também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4k^{2}-2k+6}{8k^{7}+k-8} converge.

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