Confirme que \varphi é uma função potencial de \mathbf{F}(\mathbf{r}) em alguma região e determine a região.
\begin{aligned}\varphi(x, y, z)= & x \operatorname{sen} z+y \operatorname{sen} x+z \operatorname{sen} y \\mathbf{F}(x, y, z)=(\operatorname{sen} z+y \cos x) \mathbf{i} & +(\operatorname{sen} x+z \cos y) \mathbf{j} \\& +(\operatorname{sen} y+x \cos z) \mathbf{k}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá explicitamente as duas expressões abaixo e pede para confirmar se \varphi é função potencial de \mathbf{F} e qual é a região onde isso vale:
\varphi(x,y,z)=x\sin z+y\sin x+z\sin y
\mathbf{F}(x,y,z)=(\sin z+y\cos x)\,\mathbf{i}+(\sin x+z\cos y)\,\mathbf{j}+(\sin y+x\cos z)\,\mathbf{k}
Perguntas a responder:
  • \varphi é uma função potencial de \mathbf{F} (isto é, \mathbf{F}=\nabla\varphi)?
  • Se sim, em que região isso é válido?

Passo 2

O que significa “função potencial” de um campo vetorial?
Uma função \varphi(x,y,z) é função potencial de um campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(F_1,F_2,F_3) quando os componentes de \mathbf{F} coincidem com as derivadas parciais de \varphi; em notação:
\mathbf{F}=\nabla\varphi \quad\Longleftrightarrow\quad F_1=\frac{\partial\varphi}{\partial x},\; F_2=\frac{\partial\varphi}{\partial y},\; F_3=\frac{\partial\varphi}{\partial z}.
Explicando as derivadas parciais (rapidamente): para \frac{\partial\varphi}{\partial x} trata-se de derivar \varphi em relação a x mantendo y,z constantes; regras usuais de derivação (derivada de x é 1, derivada de \sin x é \cos x, e usar que constantes multiplicativas ficam fora) se aplicam.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} passo a passo:
\varphi(x,y,z)=x\sin z+y\sin x+z\sin y.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x\sin z)=\sin z, porque \sin z é constante quando derivamos em x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cos x, pela regra da derivada de \sin x (multiplicada pela constante y).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(z\sin y)=0, pois termo não depende de x.
Somando:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\sin z+y\cos x.
Compare com o primeiro componente de \mathbf{F}: é exatamente \sin z+y\cos x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} e \dfrac{\partial\varphi}{\partial z} passo a passo:
  • Para y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x\sin z)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(y\sin x)=\sin x.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(z\sin y)=z\cos y.
      Portanto
    \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\sin x+z\cos y,
    que coincide com o segundo componente de \mathbf{F}.
  • Para z:
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(x\sin z)=x\cos z.
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(y\sin x)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(z\sin y)=\sin y.
      Portanto
    \frac{\partial\varphi}{\partial z}=\sin y+x\cos z,
    que coincide com o terceiro componente de \mathbf{F}.

Passo 5

Conclusão imediata da comparação: todas as três derivadas parciais de \varphi coincidem exatamente com os três componentes de \mathbf{F}. Logo
\mathbf{F}=\nabla\varphi
onde as expressões são definidas.
Agora, sobre a região em que isso vale: as funções \sin e \cos são definidas e suaves para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Assim \varphi e \mathbf{F} estão definidas em toda \mathbb{R}^3, e a igualdade \mathbf{F}=\nabla\varphi vale em toda essa região. Além disso, \mathbb{R}^3 é um domínio simplesmente conexo, então não há restrições topológicas escondidas.

Passo 6

Cheque alternativo (consistência): para um campo que é gradiente, o rotor (curl) deve ser o vetor nulo. Podemos calcular rapidamente \nabla\times\mathbf{F} por verificação das derivadas mistas:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin y+x\cos z)-\dfrac{\partial}{\partial z}(\sin x+z\cos y)=\cos y- \cos y=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(\sin z+y\cos x)-\dfrac{\partial}{\partial x}(\sin y+x\cos z)=\cos z- \cos z=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin x+z\cos y)-\dfrac{\partial}{\partial y}(\sin z+y\cos x)=\cos x- \cos x=0.
    Portanto \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, consistente com \mathbf{F} sendo conservativo; isso reforça que não houve erro.

Resposta

Sim. \varphi é função potencial de \mathbf{F} em toda \mathbb{R}^3.

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