Confirme que
é uma função potencial de
em alguma região e determine a região.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente as duas expressões abaixo e pede para confirmar se
é função potencial de
e qual é a região onde isso vale:
Perguntas a responder:
-
é uma função potencial de (isto é, )? - Se sim, em que região isso é válido?
Passo 2
O que significa “função potencial” de um campo vetorial?
Uma função é função potencial de um campo vetorial
quando os componentes de
coincidem com as derivadas parciais de
; em notação:
Uma função
Explicando as derivadas parciais (rapidamente): para
trata-se de derivar
em relação a
mantendo
constantes; regras usuais de derivação (derivada de
é
, derivada de
é
, e usar que constantes multiplicativas ficam fora) se aplicam.
Passo 3
Calcular
passo a passo:
-
, porque é constante quando derivamos em . -
, pela regra da derivada de (multiplicada pela constante ). -
, pois termo não depende de .
Somando:
Compare com o primeiro componente de
: é exatamente
.
Passo 4
Calcular
e
passo a passo:
-
Para
: -
. -
. -
.
Portanto
que coincide com o segundo componente de. -
-
Para
: -
. -
. -
.
Portanto
que coincide com o terceiro componente de. -
Passo 5
Conclusão imediata da comparação: todas as três derivadas parciais de
coincidem exatamente com os três componentes de
. Logo
onde as expressões são definidas.
Agora, sobre a região em que isso vale: as funções
e
são definidas e suaves para todo
. Assim
e
estão definidas em toda
, e a igualdade
vale em toda essa região. Além disso,
é um domínio simplesmente conexo, então não há restrições topológicas escondidas.
Passo 6
Cheque alternativo (consistência): para um campo que é gradiente, o rotor (curl) deve ser o vetor nulo. Podemos calcular rapidamente
por verificação das derivadas mistas:
-
. -
. -
.
Portanto, consistente com sendo conservativo; isso reforça que não houve erro.
Resposta
Sim.
é função potencial de
em toda
.