Determine o jacobiano de transformação:
x=u^{2}, y=v^{2}, z=w^{2}

Passo 1

O enunciado dá a transformação entre variáveis \,u,v,w e \,x,y,z pelas fórmulas:
x = u^{2},\qquad y = v^{2},\qquad z = w^{2}.
O que se pede: determinar o jacobiano da transformação, isto é calcular
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}.

Passo 2

O que é o jacobiano? Vou explicar devagarinho: o jacobiano de uma transformação de (u,v,w) para (x,y,z) é o determinante da matriz formada pelas derivadas parciais de cada saída em relação a cada entrada. Em forma,
J \equiv \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \det\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial w} \\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial w} \\[6pt] \displaystyle\frac{\partial z}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial v} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}.
Significado prático: ele mede como pequenos volumes em (u,v,w) são dilatados/contrados ao serem mapeados para (x,y,z). Em integrais de mudança de variável aparece |J|.]

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais uma a uma. Lembre que, ao derivar parcialmente em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
  • Para x=u^{2}:
\frac{\partial x}{\partial u}=2u,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=0,\qquad \frac{\partial x}{\partial w}=0.
  • Para y=v^{2}:
\frac{\partial y}{\partial u}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=2v,\qquad \frac{\partial y}{\partial w}=0.
  • Para z=w^{2}:
\frac{\partial z}{\partial u}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial v}=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial w}=2w.
Explicando rapidinho: a derivada de \,u^{2} em relação a \,u é \,2u (regra do potência), e como x não depende de v nem de w, as parciais em relação a essas variáveis são zero.

Passo 4

Montando a matriz jacobiana com essas derivadas:
\begin{pmatrix} 2u & 0 & 0 \\\\ 0 & 2v & 0 \\\\ 0 & 0 & 2w \end{pmatrix}.
Esta matriz é diagonal, o que facilita bastante o cálculo do determinante.

Passo 5

Determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. Então
J = (2u)\cdot(2v)\cdot(2w) = 8\,u v w.
Observação útil para provas: se for usar o jacobiano em mudança de variável numa integral, normalmente aparece o valor absoluto, ou seja |J| = 8\,|u v w|.

Resposta

\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = 8\,u v w

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