O enunciado dá a transformação entre variáveis \,u,v,w e \,x,y,z pelas fórmulas:
x = u^{2},\qquad y = v^{2},\qquad z = w^{2}.
O que se pede: determinar o jacobiano da transformação, isto é calcular
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}.
Passo 2
O que é o jacobiano? Vou explicar devagarinho: o jacobiano de uma transformação de (u,v,w) para (x,y,z) é o determinante da matriz formada pelas derivadas parciais de cada saída em relação a cada entrada. Em forma,
Significado prático: ele mede como pequenos volumes em (u,v,w) são dilatados/contrados ao serem mapeados para (x,y,z). Em integrais de mudança de variável aparece |J|.]
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais uma a uma. Lembre que, ao derivar parcialmente em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Explicando rapidinho: a derivada de \,u^{2} em relação a \,u é \,2u (regra do potência), e como x não depende de v nem de w, as parciais em relação a essas variáveis são zero.
Esta matriz é diagonal, o que facilita bastante o cálculo do determinante.
Passo 5
Determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. Então
J = (2u)\cdot(2v)\cdot(2w) = 8\,u v w.
Observação útil para provas: se for usar o jacobiano em mudança de variável numa integral, normalmente aparece o valor absoluto, ou seja |J| = 8\,|u v w|.
Resposta
\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = 8\,u v w