Determine o jacobiano de transformação:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Temos a transformação entre variáveis:
e . - A tarefa é determinar o jacobiano da transformação, isto é, a derivada jacobiana
.
Passo 2
O que é o jacobiano (explicação didática):
- Para uma transformação de duas variáveis
, o jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
- Cada entrada
, por exemplo, significa: quanto muda quando varia, mantendo fixo. Isso é essencial para mudar variáveis em integrais: o volume/área se transforma multiplicando pelo valor absoluto do jacobiano.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais pedacinhas (sem pular etapas):
- Como
, ao derivar em relação a (com fixo) obtemos
- Como
não depende de , ao derivar em relação a obtemos
- Como
, ao derivar em relação a (com fixo) obtemos
- Como
depende só de , ao derivar em relação a obtemos
Passo 4
Montar a matriz jacobiana e escrever o determinante:
Portanto o jacobiano é
Passo 5
Calcular o determinante usando a regra para matrizes
:
- Para
, .
Aplicando aqui: