Determine o jacobiano de transformação:
x=2 u, y=3 v

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Temos a transformação entre variáveis: x=2u e y=3v.
  • A tarefa é determinar o jacobiano da transformação, isto é, a derivada jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.

Passo 2

O que é o jacobiano (explicação didática):
  • Para uma transformação de duas variáveis (u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v)), o jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
  • Cada entrada \frac{\partial x}{\partial u}, por exemplo, significa: quanto x muda quando u varia, mantendo v fixo. Isso é essencial para mudar variáveis em integrais: o volume/área se transforma multiplicando pelo valor absoluto do jacobiano.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais pedacinhas (sem pular etapas):
  • Como x=2u, ao derivar em relação a u (com v fixo) obtemos
\frac{\partial x}{\partial u}=2.
  • Como x=2u não depende de v, ao derivar em relação a v obtemos
\frac{\partial x}{\partial v}=0.
  • Como y=3v, ao derivar em relação a u (com v fixo) obtemos
\frac{\partial y}{\partial u}=0.
  • Como y=3v depende só de v, ao derivar em relação a v obtemos
\frac{\partial y}{\partial v}=3.

Passo 4

Montar a matriz jacobiana e escrever o determinante:
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 \end{pmatrix}.
Portanto o jacobiano é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o determinante usando a regra para matrizes 2\times2:
  • Para \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, \det = ad-bc.
    Aplicando aqui:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = 2\cdot 3 - 0\cdot 0.

Resposta

6

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