Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilindrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comprimento (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Resistência (ohms) 2.74 5.48 7.90 11.00 13.93 16.43 20.24 23.52
Usando polinômios de 2^{o} e 3^{o} graus, determine utilizando a fórmula de Newton, quais as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
1730 m

Passo 1

O enunciado fornece medidas de comprimento e a resistência correspondente do fio e pede que, usando polinômios de 2^{\circ} e 3^{\circ} graus com a fórmula de Newton, se determine a resistência provável para comprimento 1730 m.
Dados (extraídos da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} \text{Comprimento (m)} & 500 & 1000 & 1500 & 2000 & 2500 & 3000 & 3500 & 4000\\hline \text{Resistência (}\Omega\text{)} & 2,74 & 5,48 & 7,90 & 11,00 & 13,93 & 16,43 & 20,24 & 23,52 \end{array}ê
Pergunta: estimar a resistência em 1730 m usando polinômios de grau 2 e grau 3 aplicando a fórmula de Newton.

Passo 2

Por que usar a fórmula de Newton aqui e como vamos proceder (explicação didática e escolha explícita):
  • Observação importante e útil: os comprimentos estão igualmente espaçados com passo h=500 m (500, 1000, 1500, …). Quando os pontos são igualmente espaçados, a forma prática da fórmula de Newton usa diferenças progressivas ( \Delta) e a variável adimensional u. Isso facilita muito os cálculos à mão.
  • Vou usar a forma “forward” (progressiva) da fórmula de Newton tomando como ponto-base o nó mais próximo de 1730. O nó mais próximo é x_0=1500 (a diferença é 230 m), então escolhemos x_0=1500 para construir as diferenças a partir desse ponto.
  • Definições e fórmula:
    • h é o espaçamento entre abscissas: h=500.
    • u é o parâmetro adimensional: \displaystyle u=\frac{x-x_0}{h}.
    • A forma de Newton (forward) até grau 3 é
    \begin{aligned} P_0(x)&=f_0,\\\ P_1(x)&=f_0+u\,\Delta f_0,\\\ P_2(x)&=f_0+u\,\Delta f_0+\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f_0,\\\ P_3(x)&=f_0+u\,\Delta f_0+\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f_0+\frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f_0, \end{aligned}onde f_0=f(x_0), \Delta f_0=f(x_0+h)-f(x_0), \Delta^2 f_0=\Delta(\Delta f_0), etc.
  • Explicação do que é cada diferença:
    • \Delta f_0 é a primeira diferença iniciando em x_0.
    • \Delta^2 f_0 é a diferença da primeira diferença (segunda diferença) iniciando em x_0.
    • \Delta^3 f_0 é a diferença da segunda diferença (terceira diferença) iniciando em x_0.
  • Agora vamos calcular as diferenças e aplicar as fórmulas para x=1730.

Passo 3

Construção da tabela de diferenças progressivas começando em x_0=1500. Vou usar os pontos x=1500,2000,2500,3000,3500 porque são vizinhos e suficientes para \Delta^3.
Valores (retirados da tabela original):
\begin{aligned} f(1500)&=7,90,\\\ f(2000)&=11,00,\\\ f(2500)&=13,93,\\\ f(3000)&=16,43,\\\ f(3500)&=20,24. \end{aligned}
Primeiras diferenças ( \Delta f):
\begin{aligned} \Delta f_0 &= f(2000)-f(1500)=11,00-7,90=3,10,\\\ \Delta f_1 &= f(2500)-f(2000)=13,93-11,00=2,93,\\\ \Delta f_2 &= f(3000)-f(2500)=16,43-13,93=2,50,\\\ \Delta f_3 &= f(3500)-f(3000)=20,24-16,43=3,81. \end{aligned}
Segundas diferenças ( \Delta^2 f):
\begin{aligned} \Delta^2 f_0 &= \Delta f_1-\Delta f_0=2,93-3,10=-0,17,\\\ \Delta^2 f_1 &= \Delta f_2-\Delta f_1=2,50-2,93=-0,43,\\\ \Delta^2 f_2 &= \Delta f_3-\Delta f_2=3,81-2,50=1,31. \end{aligned}
Terceiras diferenças ( \Delta^3 f):
\begin{aligned} \Delta^3 f_0 &= \Delta^2 f_1-\Delta^2 f_0=-0,43-(-0,17)=-0,26. \end{aligned}
Resumo dos coeficientes que vamos usar (todos iniciando em x_0=1500):
\begin{aligned} f_0&=7,90,\\\ \Delta f_0&=3,10,\\\ \Delta^2 f_0&=-0,17,\\\ \Delta^3 f_0&=-0,26. \end{aligned}

Passo 4

Calcular u para x=1730:
\displaystyle u=\frac{x-x_0}{h}=\frac{1730-1500}{500}=\frac{230}{500}=0,46.

Passo 5

Interpolação com polinômio de grau 2 (usar a fórmula explicada no Passo 2).
Fórmula do grau 2:
P_2(x)=f_0+u\,\Delta f_0+\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f_0.
Calcule os termos um a um:
  1. Primeiro termo:
f_0=7,90.
  1. Segundo termo:
u\,\Delta f_0=0,46\times 3,10=1,426.
  1. Terceiro termo:
\frac{u(u-1)}{2}=\frac{0,46(0,46-1)}{2}=\frac{0,46(-0,54)}{2}=\frac{-0,2484}{2}=-0,1242,
\frac{u(u-1)}{2}\,\Delta^2 f_0=-0,1242\times(-0,17)=+0,021114.
Somando:
P_2(1730)=7,90+1,426+0,021114=9,347114\approx 9,347.

Passo 6

Interpolação com polinômio de grau 3.
Fórmula do grau 3:
P_3(x)=P_2(x)+\frac{u(u-1)(u-2)}{6}\,\Delta^3 f_0.
Calcule o termo de ordem 3:
  1. Calcule o produto u(u-1)(u-2):
u-2=0,46-2=-1,54,
u(u-1)(u-2)=0,46\times(-0,54)\times(-1,54)=0,382536.
  1. Divida por 6:
\frac{u(u-1)(u-2)}{6}=\frac{0,382536}{6}=0,063756.
  1. Multiplique por \Delta^3 f_0:
0,063756\times(-0,26)=-0,01657656\approx -0,016577.
  1. Adicione a P_2:
P_3(1730)=9,347114-0,01657656=9,330537\approx 9,331.

Passo 7

Interpretação rápida e encorajamento:
  • Os dois resultados são muito próximos ( 9,347 e 9,331), o que é um bom sinal: os polinômios de grau 2 e 3 estão dando estimativas consistentes.
  • Isso indica que, para x=1730 (próximo de 1500 e 2000), a interpolação usando diferenças com passo 500 é estável e razoável.
  • Bom trabalho em ficar até aqui — a técnica de Newton com diferenças é poderosa quando os pontos são igualmente espaçados e é uma ferramenta muito útil para provas.

Resposta

P_2(1730)\approx 9,347\\ \Omega
P_3(1730)\approx 9,331\\ \Omega

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