Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilindrico, verificou-se a resistência do fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comprimento (m)
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
Resistência (ohms)
2.74
5.48
7.90
11.00
13.93
16.43
20.24
23.52
Usando polinômios de
e
graus, determine utilizando a fórmula de Newton, quais as prováveis resistências deste fio para comprimentos de:
1730 m
| Comprimento (m) | 500 | 1000 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 |
| Resistência (ohms) | 2.74 | 5.48 | 7.90 | 11.00 | 13.93 | 16.43 | 20.24 | 23.52 |
1730 m
Passo 1
O enunciado fornece medidas de comprimento e a resistência correspondente do fio e pede que, usando polinômios de
e
graus com a fórmula de Newton, se determine a resistência provável para comprimento
m.
Dados (extraídos da tabela do enunciado):
Pergunta: estimar a resistência em
m usando polinômios de grau
e grau
aplicando a fórmula de Newton.
Passo 2
Por que usar a fórmula de Newton aqui e como vamos proceder (explicação didática e escolha explícita):
- Observação importante e útil: os comprimentos estão igualmente espaçados com passo
m (500, 1000, 1500, …). Quando os pontos são igualmente espaçados, a forma prática da fórmula de Newton usa diferenças progressivas ( ) e a variável adimensional . Isso facilita muito os cálculos à mão. - Vou usar a forma “forward” (progressiva) da fórmula de Newton tomando como ponto-base o nó mais próximo de
. O nó mais próximo é (a diferença é m), então escolhemos para construir as diferenças a partir desse ponto. - Definições e fórmula:
-
é o espaçamento entre abscissas: . -
é o parâmetro adimensional: . - A forma de Newton (forward) até grau 3 é
onde , , , etc. -
- Explicação do que é cada diferença:
-
é a primeira diferença iniciando em . -
é a diferença da primeira diferença (segunda diferença) iniciando em . -
é a diferença da segunda diferença (terceira diferença) iniciando em .
-
- Agora vamos calcular as diferenças e aplicar as fórmulas para
.
Passo 3
Construção da tabela de diferenças progressivas começando em
. Vou usar os pontos
porque são vizinhos e suficientes para
.
Valores (retirados da tabela original):
Primeiras diferenças (
):
Segundas diferenças (
):
Terceiras diferenças (
):
Resumo dos coeficientes que vamos usar (todos iniciando em
):
Passo 4
Calcular
para
:
Passo 5
Interpolação com polinômio de grau
(usar a fórmula explicada no Passo 2).
Fórmula do grau 2:
Calcule os termos um a um:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando:
Passo 6
Interpolação com polinômio de grau
.
Fórmula do grau 3:
Calcule o termo de ordem 3:
- Calcule o produto
:
- Divida por
:
- Multiplique por
:
- Adicione a
:
Passo 7
Interpretação rápida e encorajamento:
- Os dois resultados são muito próximos (
e ), o que é um bom sinal: os polinômios de grau 2 e 3 estão dando estimativas consistentes. - Isso indica que, para
(próximo de e ), a interpolação usando diferenças com passo é estável e razoável. - Bom trabalho em ficar até aqui — a técnica de Newton com diferenças é poderosa quando os pontos são igualmente espaçados e é uma ferramenta muito útil para provas.