O número de bactérias por unidade de volume existente em uma cultura após
horas é dado na tabela a seguir:
Número de horas
0
1
2
3
4
5
6
Número de bactérias
32
47
65
92
132
190
275
(a) Ajuste os dados acima a curva
pelo método dos mínimos quadrados.
(b) Quantas horas seriam necessárias para que o número de bactérias por unidade de volume ultrapasse 2000 ?
| Número de horas | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Número de bactérias | 32 | 47 | 65 | 92 | 132 | 190 | 275 |
(b) Quantas horas seriam necessárias para que o número de bactérias por unidade de volume ultrapasse 2000 ?
Passo 1
O enunciado dá a contagem de bactérias por unidade de volume nas horas
e pede duas coisas:
- (a) Ajustar os dados à curva
usando mínimos quadrados. - (b) Determinar quantas horas são necessárias para que o número de bactérias ultrapasse
.
Os dados fornecidos (hora
e número de bactérias
) são:
Passo 2
Por que transformar os dados? A curva proposta é exponencial:
Tomando logaritmo natural nos dois lados obtemos uma relação linear em
:
Se definirmos
e
, então o modelo é
com
e
. Assim podemos usar regressão linear por mínimos quadrados para estimar
e
; depois recuperamos
.
Esse procedimento lineariza o problema e é o método padrão para ajustar exponenciais com mínimos quadrados (minimizando o erro em
, isto é, no log das observações).
Passo 3
Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (para estimar
e
):
Aqui
é o número de observações,
são as horas e
são os logaritmos naturais dos contagens. Depois
e
.
Passo 4
Calculo dos
a partir da tabela (usei logaritmo natural das quantidades dadas):
Agora os somatórios necessários (com
):
(Os valores de
e os somatórios foram obtidos diretamente dos dados da tabela fornecida.)]
Passo 5
Calcular
usando a fórmula:
Substituindo os números:
Portanto
.
Passo 6
Calcular
com a fórmula:
Substituindo:
Então
Passo 7
Logo o ajuste exponencial por mínimos quadrados (com 3 algarismos significativos razoáveis) é:
Isto significa que o modelo previsto para o número de bactérias por unidade de volume é
.
Passo 8
Agora (b): determinar
tal que
. Primeiro resolver a equação de contorno
:
Usando
e
:
Logo
Isso significa que o número de bactérias ultrapassará
pouco depois de
horas, ou seja aproximadamente
horas e
minutos (≈ 11 h 37 min). Para que ultrapasse
é necessário um tempo maior que esse valor; portanto por volta de
horas o número já excede
.
Resposta
(a)
\n(b)
horas