O número de bactérias por unidade de volume existente em uma cultura após x horas é dado na tabela a seguir:
Número de horas 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias 32 47 65 92 132 190 275
(a) Ajuste os dados acima a curva y=a e^{b x} pelo método dos mínimos quadrados.
(b) Quantas horas seriam necessárias para que o número de bactérias por unidade de volume ultrapasse 2000 ?

Passo 1

O enunciado dá a contagem de bactérias por unidade de volume nas horas x=0,1,\dots,6 e pede duas coisas:
  • (a) Ajustar os dados à curva y=a e^{b x} usando mínimos quadrados.
  • (b) Determinar quantas horas são necessárias para que o número de bactérias ultrapasse 2000.
Os dados fornecidos (hora x e número de bactérias y) são:
\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline y & 32 & 47 & 65 & 92 & 132 & 190 & 275 \end{array}

Passo 2

Por que transformar os dados? A curva proposta é exponencial:
y = a e^{b x}.
Tomando logaritmo natural nos dois lados obtemos uma relação linear em x:
\ln y = \ln a + b x.
Se definirmos Y=\ln y e X=x, então o modelo é
Y = \beta_0 + \beta_1 X,
com \beta_0=\ln a e \beta_1=b. Assim podemos usar regressão linear por mínimos quadrados para estimar \beta_0 e \beta_1; depois recuperamos a=e^{\beta_0}.
Esse procedimento lineariza o problema e é o método padrão para ajustar exponenciais com mínimos quadrados (minimizando o erro em Y, isto é, no log das observações).

Passo 3

Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (para estimar \beta_1 e \beta_0):
\beta_1 = \dfrac{n\displaystyle\sum_{i} x_i Y_i - \left(\displaystyle\sum_{i} x_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i} Y_i\right)}{n\displaystyle\sum_{i} x_i^{2} - \left(\displaystyle\sum_{i} x_i\right)^{2}}
\beta_0 = \dfrac{1}{n}\left(\displaystyle\sum_{i} Y_i - \beta_1 \displaystyle\sum_{i} x_i\right).
Aqui n é o número de observações, x_i são as horas e Y_i=\ln y_i são os logaritmos naturais dos contagens. Depois a=e^{\beta_0} e b=\beta_1.

Passo 4

Calculo dos Y_i=\ln y_i a partir da tabela (usei logaritmo natural das quantidades dadas):
\begin{aligned} \ln(32)&\approx 3,465735903,\\\ \ln(47)&\approx 3,850147603,\\\ \ln(65)&\approx 4,174387270,\\\ \ln(92)&\approx 4,521788577,\\\ \ln(132)&\approx 4,882801923,\\\ \ln(190)&\approx 5,247024072,\\\ \ln(275)&\approx 5,616771263. \end{aligned}
Agora os somatórios necessários (com n=7):
\begin{aligned} \displaystyle\sum x_i &= 0+1+2+3+4+5+6 = 21,\\[4pt] \displaystyle\sum x_i^{2} &= 0^{2}+1^{2}+\cdots+6^{2} = 91,\\[4pt] \displaystyle\sum Y_i &\approx 3,465735903+3,850147603+4,174387270+4,521788577+4,882801923+5,247024072+5,616771263\\\ &\approx 31,75865661,\\[4pt] \displaystyle\sum x_i Y_i &\approx 0\cdot3,4657+1\cdot3,8501+2\cdot4,1744+3\cdot4,5218+4\cdot4,8828+5\cdot5,2470+6\cdot5,6168\\\ &\approx 105,23124350. \end{aligned}
(Os valores de \ln(y) e os somatórios foram obtidos diretamente dos dados da tabela fornecida.)]

Passo 5

Calcular \beta_1=b usando a fórmula:
\beta_1 = \dfrac{n\displaystyle\sum x_i Y_i - \left(\displaystyle\sum x_i\right)\left(\displaystyle\sum Y_i\right)}{n\displaystyle\sum x_i^{2} - \left(\displaystyle\sum x_i\right)^{2}}.
Substituindo os números:
\beta_1 = \dfrac{7\cdot 105,23124350 - 21\cdot 31,75865661}{7\cdot 91 - 21^{2}} = \dfrac{736,6187045 - 666,9317888}{637 - 441} = \dfrac{69,6869157}{196} \approx 0,355562130.
Portanto b=\beta_1\approx 0,355562130.

Passo 6

Calcular \beta_0=\ln a com a fórmula:
\beta_0 = \dfrac{1}{n}\Big(\displaystyle\sum Y_i - \beta_1\displaystyle\sum x_i\Big).
Substituindo:
\beta_0 = \dfrac{1}{7}\big(31,75865661 - 0,355562130\cdot 21\big) = \dfrac{1}{7}\big(31,75865661 - 7,466804731\big) = \dfrac{24,291851879}{7} \approx 3,470264554.
Então
a = e^{\beta_0} = e^{3,470264554} \approx 32,145244.

Passo 7

Logo o ajuste exponencial por mínimos quadrados (com 3 algarismos significativos razoáveis) é:
\boxed{\,y \approx 32,145\;e^{0,355562\,x}\,}.
Isto significa que o modelo previsto para o número de bactérias por unidade de volume é y=32,145\;e^{0,355562x}.

Passo 8

Agora (b): determinar x tal que y>2000. Primeiro resolver a equação de contorno y=2000:
2000 = a e^{b x}\quad\Longrightarrow\quad x = \dfrac{\ln(2000/a)}{b}.
Usando a\approx 32,145244 e b\approx 0,355562130:
\ln(2000)\approx 7,600902460,\quad \ln\big(\tfrac{2000}{a}\big)=7,600902460-3,470264554\approx 4,130637906.
Logo
x \approx \dfrac{4,130637906}{0,355562130}\approx 11,617.
Isso significa que o número de bactérias ultrapassará 2000 pouco depois de \,11{,}617 horas, ou seja aproximadamente \,11 horas e 0{,}617\cdot 60\approx 37 minutos (≈ 11 h 37 min). Para que ultrapasse 2000 é necessário um tempo maior que esse valor; portanto por volta de 11{,}62 horas o número já excede 2000.

Resposta

(a) y \approx 32,145\;e^{0,355562\,x}\n(b) \displaystyle x\approx 11,617 horas \approx 11\text{ h }37\text{ min}

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