\hline 2 & A/37 Determine o momento de inércia polar da área circular sem e com o furo quadrado central.
\begin{aligned} \text { Resp. } I_{z} & =1,571 R^{4}, \text { sem o furo } \\\ I_{z} & =1,404 R^{4}, \text { com o furo } \end{aligned} \
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Passo 1

O problema pede que eu determine o momento de inércia polar (denotado por \,I_{z}\,) de uma área circular de raio \,R\, em duas situações: (1) a área circular inteira (sem furo) e (2) a mesma área, mas com um furo quadrado central. As respostas fornecidas que devo chegar são:
\text{Resp. } I_{z}=1{,}571\,R^{4}\text{ (sem o furo)}
I_{z}=1{,}404\,R^{4}\text{ (com o furo)}
Informações relevantes dadas ou que preciso assumir para resolver o problema:
  • A figura principal é um círculo de raio \,R\,.
  • O furo é um quadrado central com lado \,a\,. (Vou usar a informação implícita nas respostas para identificar que \,a=R\,; isso será verificado durante os cálculos.)
  • O eixo z é o eixo que sai perpendicularmente ao plano da área, passando pelo centro (centroide) da área; o momento de inércia polar é \,I_{z}.
  • Não há deslocamentos de eixo (todas as figuras estão centradas no mesmo ponto).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadas de forma didática):
  • Definição do momento de inércia polar de uma área: \,I_{z}=\iint_{A}(x^{2}+y^{2})\,dA\,. Aqui \,x e \,y são as coordenadas de cada ponto da área em relação ao centro, e \,dA\, é um elemento infinitesimal de área.
  • Relação com momentos de inércia em eixos ortogonais: \,I_{z}=I_{x}+I_{y}\,, onde \,I_{x}=\iint_{A}y^{2}dA\, e \,I_{y}=\iint_{A}x^{2}dA.
  • Para figuras simétricas centradas (como círculo e quadrado centrado), os momentos I_x e I_y são iguais, então \,I_{z}=2I_{x}=2I_{y}.
  • Fórmulas conhecidas que também usarei e que podem ser obtidas por integração:
    • Para um círculo de raio \,R, o momento de inércia polar centrado (usando diretamente a definição em coordenadas polares) é
    I_{z,\text{círculo}}=\iint_{A}r^{2}\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta.í
    • Para um retângulo de base \,b\, e altura \,h\, centrado em seus eixos, o momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro é \,I_x=\dfrac{b\,h^{3}}{12}\,. No caso de um quadrado de lado \,a\,, basta pôr b=a e h=a para obter \,I_x=\dfrac{a^{4}}{12}\,. Como I_x=I_y para o quadrado centrado, o momento polar do quadrado é \,I_{z,\text{quadrado}}=\dfrac{a^{4}}{6}\,.
  • Estratégia: calcular I_{z} do círculo inteiro (caso 1) e do quadrado que será removido (caso 2), e subtrair: \,I_{z,\text{com furo}}=I_{z,\text{círculo}}-I_{z,\text{quadrado}}\,í.

Passo 3

Cálculo do momento de inércia polar da área circular inteira.
  • Vou avaliar diretamente a integral em coordenadas polares porque é a forma mais direta para uma região circular. Em coordenadas polares, um ponto tem coordenadas (r,\theta), e x^{2}+y^{2}=r^{2}. O elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta.
  • A integral para o momento polar é
I_{z,\text{círculo}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^{3}\,dr\,d\theta.í
  • Primeiro calculo a integral interna em r:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
  • Agora a integral em \theta:
I_{z,\text{círculo}}=\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{4}}{4}\,d\theta=\frac{R^{4}}{4}\cdot(2\pi)=\frac{\pi}{2}\,R^{4}.í
  • Em valor decimal, usando \pi\approx 3{,}14159265,
\frac{\pi}{2}\approx 1{,}5707963\quad\Rightarrow\quad I_{z,\text{círculo}}=1{,}5707963\,R^{4}\approx 1{,}571\,R^{4}.í
Isso coincide com a resposta esperada para o caso sem furo.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia polar do quadrado central (o furo).
  • Como explicado, para um quadrado centrado de lado \,a\, temos para o momento de inércia em torno do eixo horizontal central:
I_{x,\text{quadrado}}=\frac{a^{4}}{12}.
  • Pelo mesmo motivo, I_{y,\text{quadrado}}=\frac{a^{4}}{12}. Assim o momento polar do quadrado é
I_{z,\text{quadrado}}=I_{x,\text{quadrado}}+I_{y,\text{quadrado}}=\frac{a^{4}}{12}+\frac{a^{4}}{12}=\frac{a^{4}}{6}.
  • Observação útil (e verificação da hipótese sobre o tamanho do furo): a diferença entre o momento polar do círculo e a resposta com furo é
1{,}571-1{,}404\approx 0{,}167\,R^{4}.
Esse valor coincide com \dfrac{1}{6}\,R^{4}\approx 0{,}1666667\,R^{4}. Portanto o termo removido tem magnitude \dfrac{a^{4}}{6}=\dfrac{1}{6}a^{4} que, para bater com \dfrac{1}{6}R^{4}, implica a^{4}=R^{4} e logo a=R. Ou seja, o quadrado do furo tem lado igual a \,a=R\,. Isso confirma a suposição implícita.
  • Assim substituo a=R na expressão do quadrado:
I_{z,\text{quadrado}}=\frac{R^{4}}{6}\approx 0{,}1666667\,R^{4}.

Passo 5

Momento polar da área com o furo: subtração das áreas (princípio da superposição).
  • O momento polar da peça com o furo central é
I_{z,\text{com furo}}=I_{z,\text{círculo}}-I_{z,\text{quadrado}}=\frac{\pi}{2}R^{4}-\frac{R^{4}}{6}.í
  • Coloco em uma única fração para ficar elegante:
I_{z,\text{com furo}}=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{6}\right)R^{4}.
  • Agora o valor numérico:
\frac{\pi}{2}\approx 1{,}5707963,\quad \frac{1}{6}\approx 0{,}1666667,
I_{z,\text{com furo}}\approx(1{,}5707963-0{,}1666667)R^{4}=1{,}4041296\,R^{4}\approx 1{,}404\,R^{4}.
  • Isso coincide com a resposta esperada para o caso com o furo.

Resposta

\,I_{z}=1{,}571\,R^{4} sem o furo\n \,I_{z}=1{,}404\,R^{4} com o furo

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