Conhecendo-se
, a força em função do tempo, para um movimento retilíneo, a segunda lei de Newton fornece
, a aceleração em função do tempo. Podemos então integrar
para obter
e
. Contudo, suponha que em vez disso você conheça
. a) A força resultante sobre um corpo que se move ao longo do eixo Ox é igual a -cvx. Use a segunda lei de Newton escrita como
e faça duas integrações para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se a força de resistência é dada por
usando a 2ª lei de Newton escrita como
e fazendo duas integrações, a gente chega em
Conteúdo que vai aparecer:
- Segunda Lei de Newton (
) - Equações diferenciais e separação de variáveis
- Relação entre
, e (uso de )
O que precisamos: entender como separar variáveis, integrar e usar a “chain rule” para ligar
e
.
Passo 2
Escrevendo direitinho a 2ª lei:
Aqui a aceleração é
Passo 3
Mas a gente quer relacionar
e
, sem precisar achar
explicitamente. Para isso usamos a ideia de que
pois
Passo 4
Agora simplificamos um
dos dois lados (assumindo
) e separamos variáveis
de um lado e
do outro:
Passo 5
Integramos ambos os lados, tomando como limites de velocidade de
até
, e de posição de
até
:
∫(de a
)
= ∫(de
a
)
.
Isso dá
∫(de
Isso dá
Passo 6
Basta isolar
:
$$x - x_0 = -\frac{m}{c},\ln!\Bigl(\frac{v_x}{v_0}\Bigr)
= \frac{m}{c},\ln!\Bigl(\frac{v_0}{v_x}\Bigr),. $$