Conhecendo-se F(t), a força em função do tempo, para um movimento retilíneo, a segunda lei de Newton fornece ax(t), a aceleração em função do tempo. Podemos então integrar ax(t) para obter vx(t) e x(t). Contudo, suponha que em vez disso você conheça F(vx). a) A força resultante sobre um corpo que se move ao longo do eixo Ox é igual a -cvx. Use a segunda lei de Newton escrita como Sigma F=mdv / dt e faça duas integrações para mostrar que x-x0=(m / c) ln (v0 / vx).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que, se a força de resistência é dada por
F(vx)=-c,vx^2,,
usando a 2ª lei de Newton escrita como
mdvxdt=sum F,,
e fazendo duas integrações, a gente chega em
x - x0 = mcln!l(v0vxr),
Conteúdo que vai aparecer:
  • Segunda Lei de Newton ( )
  • Equações diferenciais e separação de variáveis
  • Relação entre , e (uso de )
O que precisamos: entender como separar variáveis, integrar e usar a “chain rule” para ligar e .

Passo 2

Escrevendo direitinho a 2ª lei:
mdvxdt = -c,vx^2,
Aqui a aceleração é . Temos uma equação diferencial em que a variável dependente é e a independente é .

Passo 3

Mas a gente quer relacionar dvxdt = dvxdx,dxdt Longrightarrow dvxdt = vx;dvxdx,, e m;vx;dvxdx = -c,vx^2, , sem precisar achar explicitamente. Para isso usamos a ideia de que

pois . Substituindo em , fica:

Passo 4

Agora simplificamos um m,dvxdx = -c,vx Longrightarrow dvxvx = -cm,dx, dos dois lados (assumindo ) e separamos variáveis de um lado e do outro:

Passo 5

Integramos ambos os lados, tomando como limites de velocidade de ln!l(vxv0r) ;=; -cm,(x - x0), até , e de posição de até :
∫(de a ) = ∫(de a ) .
Isso dá

Passo 6

Basta isolar x - x0 = -mc,ln!l(vxv0r) = mc,ln!l(v0vxr), :
$$x - x_0 = -\frac{m}{c},\ln!\Bigl(\frac{v_x}{v_0}\Bigr)
= \frac{m}{c},\ln!\Bigl(\frac{v_0}{v_x}\Bigr),. $$

Resposta

boxedx - x0 = mc,ln!l(v0vxr),

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