Conhecendo-se
, a força em função do tempo, para um movimento retilíneo, a segunda lei de Newton fornece
, a aceleração em função do tempo. Podemos então integrar
para obter
e
. Contudo, suponha que em vez disso você conheça
. b) Mostre que a segunda lei de Newton pode ser escrita como
. Deduza a mesma expressão obtida na parte (a) usando essa forma da segunda lei de Newton fazendo uma integração.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é usar a Segunda Lei de Newton de um jeito diferente. Em vez de escrever
e integrar em função do tempo, a gente parte de
, mas “transforma” a derivada em relação a
numa derivada em relação a
. O conteúdo usado é:
- Regra da cadeia para derivadas.
- Separação de variáveis e integração.
- Teorema do trabalho–energia (o resultado final será a mesma relação entre velocidade e deslocamento que obtivemos na parte (a)).
Passo 2
Primeiro, escreve a Segunda Lei no formato usual:
Agora reconhece que
. Pela regra da cadeia,
Substituindo em
, vem direto
Passo 3
Pronto, mostramos
. Agora vamos integrar para obter a relação entre
e
. Reescreve separando variáveis:
Integramos dos estados inicial
ao final
:
Passo 4
Calcule cada integral:
– Lado esquerdo é .
– Lado direito é .
Então
– Lado esquerdo é
– Lado direito é
Então
Isolando
, fica
que é exatamente a expressão de energia cinética (o mesmo que você tinha obtido na parte (a)).