Conhecendo-se F(t), a força em função do tempo, para um movimento retilíneo, a segunda lei de Newton fornece ax(t), a aceleração em função do tempo. Podemos então integrar ax(t) para obter vx(t) e x(t). Contudo, suponha que em vez disso você conheça F(vx). b) Mostre que a segunda lei de Newton pode ser escrita como Sigma F=mv vx dv / dx. Deduza a mesma expressão obtida na parte (a) usando essa forma da segunda lei de Newton fazendo uma integração.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é usar a Segunda Lei de Newton de um jeito diferente. Em vez de escrever
e integrar em função do tempo, a gente parte de , mas “transforma” a derivada em relação a numa derivada em relação a . O conteúdo usado é:
  1. Regra da cadeia para derivadas.
  2. Separação de variáveis e integração.
  3. Teorema do trabalho–energia (o resultado final será a mesma relação entre velocidade e deslocamento que obtivemos na parte (a)).

Passo 2

Primeiro, escreve a Segunda Lei no formato usual:
Sigma F = m,dvxdt
Agora reconhece que dvxdt ;=;dvxdx,dxdt ;=;dvxdx;vx . Pela regra da cadeia,
Sigma F = m,vx,dvxdx
Substituindo em , vem direto

Passo 3

Pronto, mostramos Sigma F,dx ;=; m,vx,dvx . Agora vamos integrar para obter a relação entre integralx0^x Sigma F(x),dx ;=; mintegralv0^v vx,dvx e . Reescreve separando variáveis:
Integramos dos estados inicial ao final :

Passo 4

Calcule cada integral:
– Lado esquerdo é integralx0^x F(x),dx = m2,(v^2 - v0^2) .
– Lado direito é v^2 = v0^2 + 2mintegralx0^xF(x),dx, .
Então
Isolando , fica
que é exatamente a expressão de energia cinética (o mesmo que você tinha obtido na parte (a)).

Resposta

boxedv^2 = v0^2 + 2mintegralx0^x F(x),dx

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