É conhecido que: \quad G_{c} \cdot G_{v} \cdot G_{u} \cdot G_{m}=\frac{0,25 \cdot K_{c}}{(s+1) \cdot(0,5 \cdot s+1)}
Qual o maior valor do ganho do controlador ( \mathrm{K}_{\mathrm{C}} ) para o qual o sistema não oscilará em malha fechada, quando perturbado por um degrau no set-point?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de laço aberto
L(s)\;=\;G_c\cdot G_v\cdot G_u\cdot G_m \;=\;\frac{0,25\,K_c}{(s+1)\,(0,5\,s+1)}
e pede o maior valor de K_c para o qual, em realimentação unitária, o sistema em malha fechada não oscilará quando for acionado por um degrau no set-point. Em outras palavras, devemos achar K_c tal que os polos da função de transferência em malha fechada sejam reais (ou repetidos), evitando resposta oscilatória.

Passo 2

Em realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada é
T(s) \;=\;\frac{L(s)}{1+L(s)}
e o polinômio característico é
1 + L(s) = 0 \;\Longrightarrow\; 1 + \frac{0,25\,K_c}{(s+1)\,(0,5\,s+1)} = 0
Multiplicando por (s+1)(0,5\,s+1), obtemos o polinômio do denominador:
(s+1)(0,5\,s+1) + 0,25\,K_c = 0.

Passo 3

Expandindo (s+1)(0,5\,s+1) temos
(s+1)(0,5\,s+1) =0,5\,s^2 +1,5\,s +1.
Logo, o polinômio característico fica
0,5\,s^2 +1,5\,s +1 +0,25\,K_c = 0 \;\Longrightarrow\; 0,5\,s^2 +1,5\,s +\bigl(1 + 0,25\,K_c\bigr)=0.

Passo 4

Para que as raízes desse polinômio sejam reais (sem parte imaginária), o discriminante \Delta deve satisfazer
\Delta = b^2 -4\,a\,c \;\ge\;0,
onde a=0,5, b=1,5 e c=1+0,25\,K_c. Calculamos
\Delta = (1,5)^2 -4\cdot0,5\cdot\bigl(1+0,25\,K_c\bigr) =2,25 -2\,(1+0,25\,K_c) =2,25 -2 -0,5\,K_c =0,25 -0,5\,K_c.
Impondo \Delta\ge0:
0,25 -0,5\,K_c \;\ge\;0 \;\Longrightarrow\; 0,5\,K_c \;\le\;0,25 \;\Longrightarrow\; K_c \;\le\;0,5.

Resposta

O maior valor de K_c que garante ausência de oscilação em malha fechada é
\boxed{0,5}.

Exercícios relacionados