Num sistema de controle feedback, o controlador (PD) e as outras funções do processo são dadas por:
\mathrm{Gc}(\mathrm{s})=10 \cdot(1+\tau \mathrm{d} \cdot \mathrm{s})
\mathrm{Gu}(\mathrm{s})=\frac{1}{(\mathrm{~s}+1)^{3}}
\mathrm{Gv}(\mathrm{s})=1
\operatorname{Gm}(\mathrm{s})=1
Qual o valor ou a faixa de \tau d em que o sistema será estável ?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de controle em malha fechada com controlador PD \r
\mathrm{Gc}(s)=10\,(1+\tau_d\,s) \r
e planta \r
\mathrm{Gu}(s)=\dfrac{1}{(s+1)^3}, \r
mais \mathrm{Gv}(s)=1 e \mathrm{Gm}(s)=1. \r
Queremos achar a faixa de \tau_d que garante estabilidade da malha fechada. \r
Conteúdo: critério de Routh–Hurwitz para polinômio de grau 3.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da malha fechada \r
1 + \mathrm{Gc}(s)\,\mathrm{Gu}(s) = 0\;\Longrightarrow\;(s+1)^3 + 10\bigl(1+\tau_d\,s\bigr)=0. \r
Expandindo (s+1)^3 = s^3 + 3s^2 + 3s +1, obtemos o polinômio \r
\underbrace{s^3 + 3s^2 + (3 + 10\tau_d)\,s + 11}_{\displaystyle p(s)} = 0.

Passo 3

Montamos a tabela de Routh para \r
p(s)=s^3 + a_2\,s^2 + a_1\,s + a_0 \r
com \r
a_2 = 3,\quad a_1 = 3 + 10\tau_d,\quad a_0 = 11. \r
A tabela é \r
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & a_1 \\\ s^2 & a_2 & a_0 \\\ s^1 & b_1 & 0 \\\ s^0 & a_0 & \phantom{0} \end{array}\r
onde \r
b_1 = \frac{a_2\,a_1 - 1 \cdot a_0}{a_2} = \frac{3(3+10\tau_d) - 11}{3} = \frac{30\tau_d - 2}{3}.

Passo 4

Pela estabilidade, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos: \r
  1. 1>0 (sempre ok), \r
  2. a_2=3>0 (sempre ok), \r
  3. b_1 = \tfrac{30\tau_d -2}{3} >0 \implies 30\tau_d -2>0\implies \tau_d > \tfrac{1}{15}, \r
  4. a_0=11>0 (sempre ok).

Resposta

O sistema será estável se \r
\tau_d > \frac{1}{15}.

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