Considere um sistema de controle feedback cujas funções de transferência são dadas por:
\begin{array}{ll} \text { - para o processo: } & \mathrm{G}_{\mathrm{P}}(\mathrm{~s})=\frac{2}{(\mathrm{~s}+1) \cdot(\mathrm{s}+2)} \\\ \text { - para o sensor: } & \mathrm{G}_{\mathrm{m}}(\mathrm{~s})=\frac{1}{(0.5 \cdot \mathrm{~s}+1)} \\\ \text { - para o atuador: } & \mathrm{G}_{\mathrm{V}}(\mathrm{~s})=1 \end{array}
Encontre um valor para Kc de modo que um controlador puramente proporcional (\mathrm{Gc}=\mathrm{Kc}) estabilize o processo.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de realimentação com:
G_{P}(s)=\frac{2}{(s+1)(s+2)},\quad G_{m}(s)=\frac{1}{0.5\,s+1},\quad G_{V}(s)=1
e um controlador puramente proporcional G_{C}(s)=K_{c}. Queremos escolher K_{c} de modo que o laço fechado seja estável. Vamos usar o critério de Routh–Hurwitz aplicado ao polinômio característico do sistema em malha fechada.

Passo 2

Montamos a função de malha aberta L(s):
L(s)=G_{C}(s)\,G_{V}(s)\,G_{P}(s)\,G_{m}(s) =K_{c}\cdot1\cdot\frac{2}{(s+1)(s+2)}\cdot\frac{1}{0.5\,s+1} =\frac{2\,K_{c}}{(s+1)(s+2)(0.5\,s+1)}.
O polinômio característico do sistema em malha fechada é
1+L(s)=0 \;\Longrightarrow\; (s+1)(s+2)(0.5\,s+1)+2\,K_{c}=0.

Passo 3

Expandimos (s+1)(s+2)(0.5\,s+1):
(s+1)(s+2)=s^2+3s+2,
(s^2+3s+2)(0.5\,s+1) =0.5\,s^3+2.5\,s^2+4\,s+2.
Logo o polinômio característico fica
0.5\,s^3+2.5\,s^2+4\,s+2+2\,K_{c}=0 \;\Longrightarrow\; 0.5\,s^3+2.5\,s^2+4\,s+(2+2\,K_{c})=0.
Multiplicando tudo por 2 para facilitar, obtemos
s^3+5\,s^2+8\,s+(4+4\,K_{c})=0.

Passo 4

Aplicamos o critério de Routh–Hurwitz ao polinômio
a_{3}=1,\;a_{2}=5,\;a_{1}=8,\;a_{0}=4+4\,K_{c}.
A tabela de Routh é:
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 8 \\\ s^2 & 5 & 4+4\,K_{c} \\\ s^1 & \displaystyle\frac{5\cdot8-1\,(4+4\,K_{c})}{5} & 0 \\\ s^0 & 4+4\,K_{c} & \end{array}
Calculamos o elemento de s^1:
\frac{40-(4+4\,K_{c})}{5} =\frac{36-4\,K_{c}}{5}.

Passo 5

Para estabilidade, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh devem ser positivos:
  1. 1>0 (ok)
  2. 5>0 (ok)
  3. \displaystyle\frac{36-4\,K_{c}}{5}>0\implies36-4\,K_{c}>0\implies K_{c}<9
  4. 4+4\,K_{c}>0\implies K_{c}>-1
Como queremos K_{c}>0 (controlador proporcional positivo), o intervalo que garante estabilidade é
0<K_{c}<9.

Resposta

Qualquer valor de K_{c} no intervalo
0<K_{c}<9
estabiliza o sistema em malha fechada. Por exemplo, pode-se escolher K_{c}=5.

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