No vácuo, \vec{E}=\frac{\operatorname{sen} \theta}{r} \cos \left(6 \times 10^{7} t-0,2 r\right) \hat{a}_{\varphi} (em coordenadas esféricas). Utilizando as equações de Maxwell, determine \vec{B} e \beta.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico no vácuo, em coordenadas esféricas, e pede o campo magnético \vec{B} e o valor de \beta. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
  • Campo elétrico fornecido (peguei do enunciado):
\vec{E}=\frac{\sin\theta}{r}\cos\!\bigl(6\times10^{7}t-0,2\,r\bigr)\,\hat{a}_{\varphi}.
  • Valores explícitos extraídos:
    • \omega=6\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}} (frequência angular que multiplica t),
    • o fator espacial na fase é 0,2\,r, o que sugere k=0,2\\ \mathrm{m^{-1}} se interpretarmos a fase como \omega t - k r.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar \vec{B}(\vec{r},t).
    2. Determinar \beta (interpreto \beta como a constante de fase/propagação, isto é, k).

Passo 2

Resumo das equações de Maxwell que vou usar (vácuo, sem fontes):
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}, \qquad \nabla\cdot\vec{B}=0.
Explicação rápida e prática:
  • A primeira (Faraday) diz que o rotacional de \vec{E} é igual a menos a variação temporal de \vec{B}. Vou calcular \nabla\times\vec{E} e integrar em t para obter \vec{B} (mais prático aqui).
  • A segunda (Ampère-Maxwell) serve para relacionar constantes (como k e \omega) e conferir coerência.
  • A terceira garante que \vec{B} encontrado é fisicamente admissível.

Passo 3

Vou calcular \nabla\times\vec{E} em coordenadas esféricas. Para um campo cujas únicas componente não nula é E_{\varphi}, as fórmulas úteis (componentes do rotacional) são:
(\nabla\times\vec{E})_{r}=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,E_{\varphi}\bigr),
(\nabla\times\vec{E})_{\theta}=-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r\,E_{\varphi}\bigr),
(\nabla\times\vec{E})_{\varphi}=0,
pois E_{r}=E_{\theta}=0.
Agora substituo E_{\varphi}=\dfrac{\sin\theta}{r}\cos\psi, onde coloco a fase \psi=\omega t-kr com \omega=6\times10^{7} e k=0,2 (a notação será usada para derivar; confirmarei a relação entre k e \omega depois).
Cálculo do componente radial:
\begin{aligned} (\nabla\times\vec{E})_{r} &=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\cdot\frac{\sin\theta}{r}\cos\psi\right) =\frac{1}{r\sin\theta}\cdot\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\bigl(\sin^{2}\theta\cos\psi\bigr)\\[4pt] &=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\cdot\bigl(2\sin\theta\cos\theta\cos\psi\bigr) =\frac{2\cos\theta}{r^{2}}\cos\psi. \end{aligned}
Cálculo do componente \theta:
\begin{aligned} (\nabla\times\vec{E})_{\theta} &=-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r\cdot\frac{\sin\theta}{r}\cos\psi\right) =-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(\sin\theta\cos\psi\bigr)\\[4pt] &=-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r}\cos\psi \end{aligned}
e como \frac{\partial}{\partial r}\cos(\omega t-kr)=k\sin(\omega t-kr), obtemos
(\nabla\times\vec{E})_{\theta}=-\frac{k\sin\theta}{r}\sin\psi.
Portanto:
\nabla\times\vec{E}=\frac{2\cos\theta}{r^{2}}\cos\psi\,\hat{a}_{r}-\frac{k\sin\theta}{r}\sin\psi\,\hat{a}_{\theta}.]

Passo 4

Usando Faraday \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}, então
\frac{\partial B_{r}}{\partial t}=-\frac{2\cos\theta}{r^{2}}\cos\psi, \qquad \frac{\partial B_{\theta}}{\partial t}=\frac{k\sin\theta}{r}\sin\psi, \qquad \frac{\partial B_{\varphi}}{\partial t}=0.
Integro em t. Ao integrar, surge uma função de integração dependente de (r,\theta); como estamos buscando o campo de onda senoidal puro (sem componente estático) e o enunciado dá apenas o campo oscilante, escolho as constantes de integração nulas (isto é, assumo ausência de termos independentes de t).
Integração:
B_{r}=\int -\frac{2\cos\theta}{r^{2}}\cos\psi\;dt =-\frac{2\cos\theta}{\omega r^{2}}\sin\psi,
B_{\theta}=\int \frac{k\sin\theta}{r}\sin\psi\;dt =-\frac{k\sin\theta}{\omega r}\cos\psi,
B_{\varphi}=0.
Assim, uma expressão para \vec{B} (ainda com k e \omega explícitos) é
\vec{B}=-\frac{2\cos\theta}{\omega r^{2}}\sin\!\bigl(\omega t-kr\bigr)\,\hat{a}_{r} -\frac{k\sin\theta}{\omega r}\cos\!\bigl(\omega t-kr\bigr)\,\hat{a}_{\theta}.

Passo 5

Verifico rapidamente \nabla\cdot\vec{B}=0 para garantir consistência (esboço do cálculo):
  • Calculo \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}B_{r}) e \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta B_{\theta}).
  • Esses dois termos se cancelam exatamente com as expressões acima, e B_{\varphi}=0 não contribui, logo \nabla\cdot\vec{B}=0 é satisfeito (isto confirma que as constantes de integração podem ser nulas e o campo é fisicamente aceitável).

Passo 6

Agora uso Ampère–Maxwell para relacionar k e \omega (isto é, para determinar \beta). Em vácuo:
\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},
onde c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} é a velocidade da luz no vácuo.
Calculo o lado direito:
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=-\omega\frac{\sin\theta}{r}\sin\psi\,\hat{a}_{\varphi}.
Logo
\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=-\frac{\omega}{c^{2}}\frac{\sin\theta}{r}\sin\psi\,\hat{a}_{\varphi}.
Por outro lado, calculando (\nabla\times\vec{B})_{\varphi} a partir das componentes obtidas para \vec{B} (usar fórmula em esféricas),
obtém-se (após cálculo direto mostrado nos passos anteriores)
(\nabla\times\vec{B})_{\varphi} =-\frac{\sin\theta}{\omega r}\bigl(k^{2}+\tfrac{2}{r^{2}}\bigr)\sin\psi.
Igualando as componentes \varphi das duas expressões:
-\frac{\sin\theta}{\omega r}\bigl(k^{2}+\tfrac{2}{r^{2}}\bigr)\sin\psi =-\frac{\omega}{c^{2}}\frac{\sin\theta}{r}\sin\psi.
Cancelando fatores comuns ( -\sin\theta\sin\psi/r), obtemos
\frac{1}{\omega}\Bigl(k^{2}+\frac{2}{r^{2}}\Bigr)=\frac{\omega}{c^{2}}.
Para ondas com kr\gg1 (zona de radiação, campo dependente de 1/r), o termo \dfrac{2}{r^{2}} é desprezível frente a k^{2}, então a relação principal é
k^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \quad\Rightarrow\quad k=\frac{\omega}{c}.
Isto é exatamente a relação de dispersão no vácuo. Portanto \beta=k=\dfrac{\omega}{c}.

Passo 7

Calculo numérico de \beta. Uso c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \omega=6\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}:
\beta=k=\frac{\omega}{c}=\frac{6\times10^{7}}{3\times10^{8}}=0,2\\ \mathrm{m^{-1}. }
Substituindo k/\omega=1/c nas componentes de \vec{B}, escrevo \vec{B} numa forma mais física, separando o termo dominante (ordem 1/r) e o termo radial (ordem 1/r^{2}):
\vec{B}=-\frac{2\cos\theta}{\omega r^{2}}\sin\!\bigl(\omega t-kr\bigr)\,\hat{a}_{r} -\frac{\sin\theta}{c r}\cos\!\bigl(\omega t-kr\bigr)\,\hat{a}_{\theta},
com k=0,2\\ \mathrm{m^{-1}} e \omega=6\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}. No campo de radiação (grande r) a componente radial é muito menor que a componente \theta, e a relação aproximada de campo de onda livre é
\vec{B}\approx -\frac{\sin\theta}{c r}\cos\!\bigl(\omega t-kr\bigr)\,\hat{a}_{\theta}.

Resposta

\displaystyle \vec{B}=-\frac{2\cos\theta}{\omega r^{2}}\sin\!\bigl(\omega t-kr\bigr)\,\hat{a}_{r}-\frac{k\sin\theta}{\omega r}\cos\!\bigl(\omega t-kr\bigr)\,\hat{a}_{\theta}\quad\text{com }k=\beta
\displaystyle \beta=k=\frac{\omega}{c}=0,2\\ \mathrm{m^{-1}}

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