No vácuo,
(em coordenadas esféricas). Utilizando as equações de Maxwell, determine
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo elétrico no vácuo, em coordenadas esféricas, e pede o campo magnético
e o valor de
. Vou listar claramente o que temos e o que se pede.
- Campo elétrico fornecido (peguei do enunciado):
- Valores explícitos extraídos:
-
(frequência angular que multiplica ), - o fator espacial na fase é
, o que sugere se interpretarmos a fase como .
-
- O que o enunciado pede:
- Determinar
. - Determinar
(interpreto como a constante de fase/propagação, isto é, ).
- Determinar
Passo 2
Resumo das equações de Maxwell que vou usar (vácuo, sem fontes):
Explicação rápida e prática:
- A primeira (Faraday) diz que o rotacional de
é igual a menos a variação temporal de . Vou calcular e integrar em para obter (mais prático aqui). - A segunda (Ampère-Maxwell) serve para relacionar constantes (como
e ) e conferir coerência. - A terceira garante que
encontrado é fisicamente admissível.
Passo 3
Vou calcular
em coordenadas esféricas. Para um campo cujas únicas componente não nula é
, as fórmulas úteis (componentes do rotacional) são:
pois
.
Agora substituo
, onde coloco a fase
com
e
(a notação será usada para derivar; confirmarei a relação entre
e
depois).
Cálculo do componente radial:
Cálculo do componente
:
e como
, obtemos
Portanto:
Passo 4
Usando Faraday
, então
Integro em
. Ao integrar, surge uma função de integração dependente de
; como estamos buscando o campo de onda senoidal puro (sem componente estático) e o enunciado dá apenas o campo oscilante, escolho as constantes de integração nulas (isto é, assumo ausência de termos independentes de
).
Integração:
Assim, uma expressão para
(ainda com
e
explícitos) é
Passo 5
Verifico rapidamente
para garantir consistência (esboço do cálculo):
- Calculo
e . - Esses dois termos se cancelam exatamente com as expressões acima, e
não contribui, logo é satisfeito (isto confirma que as constantes de integração podem ser nulas e o campo é fisicamente aceitável).
Passo 6
Agora uso Ampère–Maxwell para relacionar
e
(isto é, para determinar
). Em vácuo:
onde
é a velocidade da luz no vácuo.
Calculo o lado direito:
Logo
Por outro lado, calculando
a partir das componentes obtidas para
(usar fórmula em esféricas),
obtém-se (após cálculo direto mostrado nos passos anteriores)
obtém-se (após cálculo direto mostrado nos passos anteriores)
Igualando as componentes
das duas expressões:
Cancelando fatores comuns (
), obtemos
Para ondas com
(zona de radiação, campo dependente de
), o termo
é desprezível frente a
, então a relação principal é
Isto é exatamente a relação de dispersão no vácuo. Portanto
.
Passo 7
Calculo numérico de
. Uso
e
:
Substituindo
nas componentes de
, escrevo
numa forma mais física, separando o termo dominante (ordem
) e o termo radial (ordem
):
com
e
. No campo de radiação (grande
) a componente radial é muito menor que a componente
, e a relação aproximada de campo de onda livre é